在解（證）有關梯形的問題時，常常要添作輔助線，把梯形問題轉化為三角形或平行四邊形問題。本文舉例談談梯形中的常用輔助線，以幫助同學們更好地理解和運用
一、平移法
（1）梯形內平移一腰(過一頂點做腰的平行線)
［例1］如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab＝cd，∠c＝60°，ad＝15cm，
bc＝49cm，求cd的長．
解：過d作de∥ab交bc於e，則四邊形abed為平行四邊形．
∴ad＝be＝15cm，ab＝de．
∴ec＝bc－be＝bc－ad＝49－15＝34cm．
又∵ab＝cd， ∴ de＝cd．
又∵∠c＝60°，
∴△cde是等邊三角形，
即cd＝ec＝34cm．
（2）梯形外平移一腰(過一頂點做腰的平行線)
［例2］如圖,在梯形abcd中，ab∥cd，四邊形aced是平行四邊形，延長dc交be於f. 求證：ef=fb
證明：過點b作bg∥ad,交dc的延長線於g
∴四邊形abgd是平行四邊形 ∴ad=bg
∵aced中，ad∥ce ad=ce
∴ce∥bg且ce=bg ∴∠cef=∠gbf
又∵∠cfe=∠gfb
∴△ecf≌△bgf( asa)
∴ef=fb
點評：過梯形上底或下底的乙個端點作另一腰的平行線，可將梯形轉化為乙個平行四邊形和三角形。
（3）梯形內平移兩腰：利用梯形中的某個特殊點，過此點作兩腰的平行線，把兩腰轉化到同乙個三角形中。
［例3］如圖，已知：梯形abcd中，ad∥bc，
∠c+∠b=90°，m，n分別是ad，bc的中點．
求證：mn＝
證明：過點e分別作ab、cd的平行線，交bc於點g、h ,
則四邊形abge,edch為平行四邊形 ∴ae=bg，ed=hc
∵ab∥eg ∴∠b=∠egf
又∵dc∥eh ∴∠c=∠ehf
則∠egh＋∠ehg=∠b＋∠c=90°，△egh是直角三角形
∵e、f分別是ad、bc的中點 ∴ae=ed，bf=cf ∴gf=fh
則有ef== (bc-bg-hc)= (bc-ad)
（4）平移對角線(過一頂點做對角線的平行線）
[例4］求證：對角線相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac=bd
求證：ab=dc
證明：過點d作de∥ac交bc的延長線於點e
則四邊形aced是平行四邊形 ∴ac=de
∵de=ac=db ∴∠dbc=∠e ∠acb=∠e ∴∠dbc=∠acb
又∵bd=ca bc=cb ∴△abc≌△dcb(sas)
∴ab=dc
點評：過梯形的乙個頂點作對角線的平行線，將對角線的有關條件轉化到乙個三角形中。
二、延長兩腰交於一點，可使梯形轉化為三角形
［例5］如圖，在梯形abcd中，ad//bc，∠b=50°，∠c=80°，ad=2，bc=5，
求cd的長。
解：延長ba、cd交於點e
∵在△bce中，∠b=50°，∠c=80°
∴∠e=50° ∴bc=ec=5
又∵ad//bc ∴∠ead =∠b=50° ∴ad=ed=2
∴cd=ec-ed=5-2=3
三、作梯形的高
（1）作一條高，從底邊的乙個端點作另一條底邊的垂線，把梯形轉化為直角三角形或矩形
［例6］如圖，在直角梯形abcd中，ab//dc，∠abc=90°，
ab=2dc，對角線ac⊥bd，垂足為f，過點f作ef//ab，
交ad於點e
求證：四邊形abfe是等腰梯形
證明：過點d作dg⊥ab於點g，則易知四邊形dgbc是矩形，所以dc=bg
∵ab=2dc ∴ag=gb
∴da=db ∴∠dab=∠dba
又∵ef//ab
∴四邊形abfe是等腰梯形。
（2）作兩條高：從同一底邊的兩個端點作另一條底邊的垂線，把梯形轉化為兩個直角三角形和乙個矩形
［例7］如圖，在梯形abcd中，dc∥ab，ad=bc，若ad=5，cd=2，ab=8,求梯形abcd的面積。
解：過點d、c分別作de⊥ab於e，cf⊥ab於f.
∵dc∥ab, de⊥ab,cf⊥ab
∴四邊形cdef是矩形 ∴dc=ef，de=cf
易證△ade≌△dcf(hl) ∴ae=bf
∴ae= (ab-ef)= (ab-cd)=3
∴ de=
∴四、構造全等三角形
（1）連線梯形一頂點及一腰的中點
［例8］(梯形中位線的性質)
如圖，已知在梯形abcd中，ad//bc，m、n為腰ab、dc的中點，
求證：mn∥ad∥bc，
證明：鏈結an並延長，交bc的延長線於點e
∵ad//bc， ∴∠d=∠dce
易證△adn≌△ecn(asa) ∴an=en，ad=ce
又∵am=mb
∴ef∥ad // bc
(三角形中位線性質)
（2）過一腰的中點作另一腰的平行線
［例9］(梯形的中位線性質)
如圖，已知在梯形abcd中，ad//bc，m、n為腰ab、dc的中點，
求證：mn∥ad∥bc，
證明：過f作ab的平行線，交ad的延長線於點n，交bc於m
則四邊形anmb為平行四邊形
∴an=bm ，ab=mn，ab//nm
∵ad//bc， ∴∠n=∠cmf
易證△dnf≌△cmf(asa)
∴dn=cm，df=cf
又∵ae=eb ∴ae=nf且ae//nf ∴四邊形aefn為平行四邊形
∴ef∥ad // bc ef=an=bm
∴五、中位線法
（1）已知梯形一腰中點，作梯形的中位線
［例10］如圖，在梯形abcd中，ab//dc，o是bc的中點，
∠aod=90°，求證：ab＋cd=ad
證明：取ad的中點e，連線oe，則易知oe是梯形abcd的中位線
∴oe=（ab＋cd）
在△aod中，∠aod=90°，ae=de
∴ ∴ab＋cd=ad
點評：已知梯形一腰中點，作梯形的中位線，既可輕鬆解決計算問題，也可以在證明中將梯形轉化為三角形。
（2）已知梯形兩條對角線的中點，連線梯形一頂點與一條對角線中點，並延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線
［例11］如圖，在梯形abcd中，ad//bc，e、f分別是bd、ac的中點，
求證：（1）ef//ad；（2）
證明：連線df，並延長交bc於點g，易證△afd≌△cfg（asa）
則ad=cg，df=gf
∵de=be，∴ef是△bdg的中位線
∴ef//bg且
又∵ad//bg，bg=bc-cg=bc-ad
∴ef//ad，ef
六、作對角線，使梯形轉化為三角形
［例12］如圖，在直角梯形abcd中，ad//bc，
ab⊥ad，bc=cd，be⊥cd於點e，求證：ad=de
證明：鏈結bd
∵ad//bc ∴∠adb=∠dbe
又∵bc=cd ∴∠dbc=∠bdc ∴∠adb=∠bde
又∵∠bad=∠deb=90°，bd=bd
∴rt△bad≌rt△bed(aas) ∴ ad=de
以上的一些常用輔助線，實際上都體現了數學中的轉化的數學思想，即將梯形的問題轉化為三角形或平行四邊形，在學習過程中希望同學們能細心體會並加以靈活運用。
梯形常用輔助線例析
例3如圖 等腰梯形abcd中，ad bc，ab cd 對角線ac bd，ad 4 bc 10 求梯形abcd的面積 解 過點d作df ac交bc的延長線於f，作de bc交bc於e 四邊形acfd是平行四邊形 df ac,cf ad 4 ac bd,ac df bdf boc 900 ac bd b...
總梯形常用輔助線作法
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