幫你總結梯形中的輔助線
常見的梯形輔助線規律口訣為:
梯形問題巧轉化，變為△和□;要想盡快解決好,新增輔線最重要;
平移兩腰作出高,延長兩腰也很好;記著平移對角線,上下和差就出現;
如果出現腰中點,就把中位線相連;上述方法不奏效,倍長中線別忘掉;
靈活新增輔助線,幫你度過梯形關;注意梯形割與補,巧變成為□和△.
基本圖形如下:
1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰、兩底角等轉移到乙個三角形中,同時還得到平行四邊形．
1已知：如圖,在梯形abcd中,.求證：.
分析:平移一腰bc到de,將題中已知條件轉化在同一等腰三角形中解決,即ab=2cd.
練習：如圖,在梯形abcd 中,ad∥bc , e、f 分別是ad 、bc 的中點,若 .ad = 7 ,bc = 15 ,求ef ．=4
2.從梯形上底的兩端向下底引垂線作高,可以得到乙個矩形和兩個直角三角形．然後利用構造的直角三角形和矩形解決問題．
(難）2 已知，如圖，在梯形abcd中，ad//bc，ab=ac，∠bac=90°，bd=bc，bd交ac於點0.求證：co=cd.
證明：過點a、d分別作ae⊥bc，df⊥bc，垂足分別是e、f，則四邊形aefd為矩形，因為ae=df，ab=ac，ae⊥bc，∠bac=90°，
所以ae=be=ce=bc，∠acb=45°，所以ae=df=bc，
又df⊥bc，所以在rt△dfb中，∠dbc=30°，
又bd=bc，所以∠bdc=∠bcd=，
所以∠doc=∠dbc+∠acb=30°+45°=75°.所以∠bdc=∠doc，所以c0=cd.
方法點撥：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉化為矩形和直角三角形，進而根據直角三角形知識解決.
3.平移一條對角線一般是過上底的乙個端點作一條對角線的平行線,與另一底的延長線相交,得到乙個平行四邊形和三角形,把梯形問題轉化為平行四邊形和三角形問題解決．
3 如圖，在等腰梯形abcd中，ad//bc，ac⊥bd，ad+bc=10，de⊥bc於e.求de的長.
解：過點d作df//ac，交bc的延長線於f，則四邊形acfd為平行四邊形，所以ac=df，ad=cf，因為四邊形abcd為等腰梯形，所以ac=db，bd=fd，因為de⊥bc，所以be=ef=bf=(bc+cf)=(bc+ad)=×10=5.
因為ac//df,bd⊥ac,所以bd⊥df,
因為be=fe,所以de=be=ef=5,即de的長為5.
方法點撥:當有對角線垂直時,常作梯形對角線的平行線,構造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決.
練習：如圖,等腰梯形中, , ,且ac⊥bd , 是高, 是中位線,求證： ．
分析：由梯形中位線性質得 ,欲證 ,只要證 ．過點作 ,交的延長線於 ,就可以把 、 和移到三角形中,再證明等式成立就簡單多了．
4.遇到梯形一腰中點的問題可以作出梯形的中位線,中位線與上、下底都平行,且三線段有數量關係. 或利用「等積變形」,鏈結梯形上底一端點和另一腰中點,並延長與下底延長線交於一點,構成三角形解決問題．
4.已知：梯形 abcd中ad∥ bc,e為ab中點,且ad＋bc=dc ,求證：de⊥ec,de平分∠adc,ce平分∠bcd．
證法1：取dc中點f,鏈結ef,e為ad中點,則ef為梯形的中位線
∴ef∥ad∥bc ef=(ad＋bc) ∴∠1=∠5,∠3=∠6 ∵dc=ad＋bc
∴ef=dc=df=cf ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠2=∠5,∠4=∠6
∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180° ∴∠1＋∠3=90°∴de⊥c,de平分adc,ce平分∠cd
證法2：延長ce與da延長線交於一點f,過程略．（倍長中線）
證法3：在dc上擷取df=ad,鏈結af、bf、ef解決.
練習.已知：如圖,在梯形中, 是的中點,且 .求證：.
證明：取的中點f,鏈結fe.則
5.當遇到以上的梯形輔助線新增後不能解決問題時,可以特題特解,結合具體問題中的具體條件,尋求特殊的方法解決問題.比如可將對角線繞中點旋轉 、利用一腰中點旋轉、將梯形補成平行四邊形或三角形問題.
5.已知：如圖,在梯形abcd 中, 、n分別是bd 、ac 的中點.求證： . 證明：鏈結並延長 ,交於e.則 .∴ 又n是ac的中點, ∴ ,故
6.如圖,梯形中, , 為腰的中點,求證： .
分析： 與梯形abcd的面積關係不明顯,如果利用梯形助特點把它補成如圖7的平行四邊形,它們之間的關係就清晰了．梯形補成平行四邊形,各種關係明顯、直觀,解題思路清晰．
證明：延長 ,使 ,延長 ,使 ；則 ,則四邊形是平行四邊形． 為的中點,鏈結 , 與交於點 .鏈結 、 ,則 . ∵ , 是中點,
∴ 為中點且是中點． ∴四邊形是平行四邊形,
∴ ,∴
課後練習
1、如圖，已知在梯形abcd中，ab∥dc，∠d=60°，∠c=45°，ab=2，ad=4，求梯形abcd的面積．
2、在梯形abcd中，ad//bc，ab=dc=ad=2， bc=4，求∠b的度數及ac的長。
3、如圖所示，已知等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝60°，ad＝2，bc＝8，求等腰梯形的周長。
4、 如圖所示，ab∥cd，ae⊥dc，ae＝12，bd＝20，ac＝15，求梯形abcd的面積。
總結梯形常用輔助線及對應例題
幫你總結梯形中的輔助線 常見的梯形輔助線規律口訣為 梯形問題巧轉化，變為 和 要想盡快解決好,新增輔助線最重要 平移兩腰作出高,延長兩腰也是關鍵 記著平移對角線,上下底和差就出現 如果出現腰中點,就把中位線細心連 上述方法不奏效,過中點旋轉成全等 靈活新增輔助線,幫你度過梯形難關 想要易解梯形題,還...
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梯形常用輔助線例析
例3如圖 等腰梯形abcd中，ad bc，ab cd 對角線ac bd，ad 4 bc 10 求梯形abcd的面積 解 過點d作df ac交bc的延長線於f，作de bc交bc於e 四邊形acfd是平行四邊形 df ac,cf ad 4 ac bd,ac df bdf boc 900 ac bd b...