梯形中的輔助線
常見的梯形輔助線規律口訣為:梯形問題巧轉化，變為△和□;要想盡快解決好,新增輔助線最重要;平移兩腰作出高,延長兩腰也是關鍵;記著平移對角線,上下底和差就出現;如果出現腰中點,就把中位線細心連;上述方法不奏效,過中點旋轉成全等;靈活新增輔助線,幫你度過梯形難關;想要易解梯形題,還得注意特題特解;注意梯形割與補,巧變成為□和△.
基本圖形如下:
1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰、兩底角等轉移到乙個三角形中,同時還得到平行四邊形．
【例1】已知：如圖2,在梯形abcd中,.求證：.
分析:平移一腰bc到de,將題中已知條件轉化在同一等腰三角形中解決,即ab=2cd.
證明：過d作 ,交ab於e.
∵ ab平行於cd,且 ,
∴四邊形是菱形.
∴又∴ 為等邊三角形.
∴又 ,∴∴.【例2】如圖,在梯形abcd 中,ad∥bc , e、f 分別是ad 、bc 的中點,若 .ad = 7 ,bc = 15 ,求ef ．
分析：由條件 ,我們通過平移ab 、dc ；構造直角三角形men ,使ef 恰好是△men 的中線．
解：過e 作em∥ab ,en ∥dc ,分別交bc 於m 、n ,∵ ,
∴∴ 是直角三角形,∵ , ,
∴ .∵ 、 分別是 、 的中點,
∴ 為的中點,∴ .
2.從梯形上底的兩端向下底引垂線作高,可以得到乙個矩形和兩個直角三角形．然後利用構造的直角三角形和矩形解決問題．
【例3】.如圖,在梯形中,.求證：.
分析:過上底向下底作兩高,構造rt△,然後利用兩三角形全等解決問題.
證明：分別過d、c、作ab的垂線,垂足分別為e、f.
∵ ,∴ .
又 ,∴ ≌ .
∴3.平移一條對角線一般是過上底的乙個端點作一條對角線的平行線,與另一底的延長線相交,得到乙個平行四邊形和三角形,把梯形問題轉化為平行四邊形和三角形問題解決．
【例4】.如圖,等腰梯形中, , ,且 , 是高,
是中位線,求證： ．
分析：由梯形中位線性質得 ,欲證 ,只要證 ．過點作 ,交的延長線於 ,就可以把 、 和移到三角形中,再證明等式成立就簡單多了．
證明：過點作交的延長線於點 ,則四邊形是平行四邊形．
∴ ,∵ 四邊形是等腰梯形,
∴ ,∴
又∵ ,∴ ,
∴ , ∴ .
∵ ,∴
又∵ ,∴ .
【例5】.已知：如圖,在梯形中, .求證：梯形是等腰梯形.
證明：過d作 ,交ba延長線於e.則四邊形是平行四邊形.
∴.∴又 ,∴
於是,可得 ∴ ∴梯形abcd是等腰梯形.
4.遇到梯形一腰中點的問題可以作出梯形的中位線,中位線與上、下底都平行,且三線段有數量關係. 或利用「等積變形」,鏈結梯形上底一端點和另一腰中點,並延長與下底延長線交於一點,構成三角形解決問題．
【例6】.已知：如圖4,在梯形中, 是的中點,且 .求證：.
證明：取的中點f,鏈結fe.則
∵ ,∴.
∴.【例7】.已知：梯形 abcd中ad bc,e為ab中點,且ad＋bc=dc , 求證：de⊥ec,de平分∠adc,ce平分∠bcd．
證法1：取dc中點f,鏈結ef,e為ad中點,則ef為梯形的中位線
∴ef∥ad∥bc ef=(ad＋bc)
∴∠1=∠5,∠3=∠6
∵dc=ad＋bc
∴ef=dc=df=cf
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠2=∠5,∠4=∠6
∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180°
∴∠1＋∠3=90°
∴de⊥c,de平分adc,ce平分∠cd
證法2：延長ce與da延長線交於一點f,過程略．
證法3：在dc上擷取df=ad,鏈結af、bf、ef解決.
5.當遇到以上的梯形輔助線新增後不能解決問題時,可以特題特解,結合具體問題中的具體條件,尋求特殊的方法解決問題.比如可將對角線繞中點旋轉 、利用一腰中點旋轉、將梯形補成平行四邊形或三角形問題.
【例8】.已知：如圖5,在梯形abcd 中, m、n分別是bd 、ac 的中點.求證： .
證明：鏈結並延長 ,交於e.則 .
∴又n是ac的中點,
∴ ,故說明：在圖5中, 相當於由繞點e旋轉得到；在圖6中, 是由繞點e旋轉得到.
取一腰的中點,鏈結頂點和這個中點並延長與對邊的延長線相交,可得兩個全等三角形．
【例9】.如圖,梯形中, , 、 分別平分和 , 為中點,求證： ．
分析：要證明 ,可以利用為中點,延長與的延長線交於 , ,得到 ,再證明即可．
證明：延長 、 交於點 f,顯然 ．
∴ , .
又∵ ,
, ,∴ ,∴
∴ 是線段的垂直平分線．
∴ ,∴ .
評注：新增輔助線後,溝通了 、 與的聯絡,由線段垂直平分線性質得出 ,從而問題獲得解決．
利用一腰中點旋轉
【例10】.已知：如圖,在梯形中, 是cd的中點.求證：.
證明：延長ae、bc相交於點f.易證.
∴ ,∵ ,
∴ 即 .
∴be是等腰底邊上的高.
∴ .【例11】.如圖,梯形中, , 為腰的中點,求證： .
分析： 與梯形abcd的面積關係不明顯,如果利用梯形助特點把它補成如圖7的平行四邊形,它們之間的關係就清晰了．梯形補成平行四邊形,各種關係明顯、直觀,解題思路清晰．
證明：延長 ,使 ,延長 ,使 ；則 ,則四邊形是平行四邊形． 為的中點,鏈結 , 與交於點 .鏈結 、 ,則 .
∵ , 是中點,
∴ 為中點且是中點．
∴四邊形是平行四邊形,
∴ ,∴
鞏固習題
1.等腰梯形的腰長為5 cm，上、下底的長分別為6 cm和12 cm，則它的面積為_______.
2.在梯形abcd中，ad∥bc,∠b=90°，∠c=45°，cd=10 cm，bc=2ad，則梯形的面積為_______.
3.梯形的上底長為5 cm，將一腰平移到上底的另一端點位置後與另一腰和下底所構成的三角形的周長為20 cm，那麼梯形的周長為_______.
4.在梯形abcd中，ad∥bc，∠b=50°，∠c=80°，ad=8，bc=11，則cd=_______.
5、 如圖2，等腰等形abcd中，ad∥bc，ad=5， ∠b=60°，bc=8，且ab∥de，δdec的周長是
6.在梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，若ad=2，bc=8，bd=6，求：（1）對角線ac的長；（2）梯形abcd的面積.
7.已知：如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，ad=2，bd=6，ac=bc=8。
（1）請判斷對角線ac與bd的位置關係，說明理由。
（2）求出梯形abcd的高線de的長。
8.如圖，已知等腰梯形abcd中，ad//bc，ac⊥bd，ad+bc=10,de⊥bc於e.求等腰梯形abcd的面積。（8分）
梯形中常見輔助線的作法
一 平移一腰，轉化為三角形 平行四邊形 二 作高，轉化為兩直角三角形和一矩形 三 平移一對角線，轉化為三角形 平行四邊形 四 連線一頂點與一腰的中點，構造全等三角形 五 延長兩腰，轉化為三角形 1.如圖所示，在梯形abcd中，ad bc，ab 8，dc 6，b 45 bc 10，求梯形上底ad的長....
梯形常用輔助線例析
例3如圖 等腰梯形abcd中，ad bc，ab cd 對角線ac bd，ad 4 bc 10 求梯形abcd的面積 解 過點d作df ac交bc的延長線於f，作de bc交bc於e 四邊形acfd是平行四邊形 df ac,cf ad 4 ac bd,ac df bdf boc 900 ac bd b...
幾種常用的梯形輔助線方法
在解 證 有關梯形的問題時，常常要添作輔助線，把梯形問題轉化為三角形或平行四邊形問題。本文舉例談談梯形中的常用輔助線，以幫助同學們更好地理解和運用 一 平移法 1 梯形內平移一腰 過一頂點做腰的平行線 例1 如圖，在等腰梯形abcd中，ad bc，ab cd，c 60 ad 15cm，bc 49cm...