(一)中線倍長法:
例1 、求證：三角形一邊上的中線小於其他兩邊和的一半。已知：
如圖，△abc中，ad是bc邊上的中線，求證：ad ﹤(ab+ac)分析：要證明ad ﹤(ab+ac)，就是證明ab+ac>2ad，也就是證明兩條線段之和大於第三條線段，而我們只能用「三角形兩邊之和大於第三邊」，但題中的三條線段共點，沒有構成乙個三角形，不能用三角形三邊關係定理，因此應該進行轉化。
待證結論ab+ac>2ad中，出現了2ad，即中線ad應該加倍。證明：延長ad至e，使de=ad，連ce，則ae=2ad。
在△adb和△edc中
∴△adb≌△edc(sas)∴ab=ce又在△ace中，ac+ce＞ae∴ac+ab＞2ad，即ad ﹤(ab+ac)小結：(1)涉及三角形中線問題時，常採用延長中線一倍的辦法，即中線倍長法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊ab、ac和兩個角∠bad和∠cad集中於同乙個三角形中，以利於問題的獲解。
課題練習:中，ad是的平分線，且bd=cd，求證ab=ac
例2: 中線一倍輔助線作法
△abc中方式1： 延長ad到e，
ad是bc邊中線使de=ad
連線be
方式2：間接倍長
作cf⊥ad於f延長md到n，
作be⊥ad的延長線於e使dn=md，
連線be連線cd
例3：△abc中，ab=5，ac=3，求中線ad的取值範圍
例4：已知在△abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延長線上，de交bc於f，且df=ef，求證：bd=ce
課堂練習：已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上一點，且be=ac，延長be交ac於f，求證：af=ef
例5：已知：如圖，在中，，d、e在bc上，且de=ec，過d作交ae於點f，df=ac.
求證：ae平分
課堂練習：已知cd=ab，∠bda=∠bad，ae是△abd的中線，求證：∠c=∠bae
作業：1、在四邊形abcd中，ab∥dc，e為bc邊的中點，∠bae=∠eaf，af與dc的延長線相交於點f。試**線段ab與af、cf之間的數量關係，並證明你的結論
2、已知：如圖，abc中，c=90，cmab於m，at平分bac交cm於d，交bc於t，過d作de//ab交bc於e，求證：ct=be.
3：已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上一點，且be=ac，延長be交ac於f，求證：af=ef
4：已知cd=ab，∠bda=∠bad，ae是△abd的中線，求證：∠c=∠bae
5、在四邊形abcd中，ab∥dc，e為bc邊的中點，∠bae=∠eaf，af與dc的延長線相交於點f。試**線段ab與af、cf之間的數量關係，並證明你的結論
（二）截長補短法
例1. 已知，如圖1-1，在四邊形abcd中，bc＞ab，ad=dc，bd平分∠abc.
求證：∠bad+∠bcd=180°.
分析：因為平角等於180°，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在於構造直角三角形，可通過「截長補短法」來實現.
證明：過點d作de垂直ba的延長線於點e，作df⊥bc於點f，如圖1-2
∵bd平分∠abc，∴de=df，
在rt△ade與rt△cdf中，
∴rt△ade≌rt△cdf(hl),∴∠dae=∠dcf.
又∠bad+∠dae=180°，∴∠bad+∠dcf=180°，
即∠bad+∠bcd=180°
例2. 如圖2-1，ad∥bc，點e**段ab上，∠ade=∠cde，∠dce=∠ecb.求證：cd=ad+bc.
例3.已知，如圖3-1，∠1=∠2，p為bn上一點，且pd⊥bc於點d，ab+bc=2bd.
求證：∠bap+∠bcp=180°.
例4.已知：如圖4-1，在△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2.
求證：ab=ac+cd.
作業：1、已知：如圖，abcd是正方形，∠fad=∠fae. 求證：be+df=ae.
2、五邊形abcde中，ab=ae，bc+de=cd，∠abc+∠aed=180°，求證：ad平分∠cde
（三）其它幾種常見的形式：
1、有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形。
例：如圖1：已知ad為△abc的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：be＋cf＞ef。
2、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。
例：：如圖2：ad為△abc的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：be＋cf＞ef
練習：已知△abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證ef＝2ad
3、延長已知邊構造三角形：
例如：如圖6：已知ac＝bd，ad⊥ac於a ，bc⊥bd於b，
求證：ad＝bc
4、連線四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。
例如：如圖7：ab∥cd，ad∥bc 求證：ab=cd。
5、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。
例如：如圖8：在rt△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，∠1＝∠2，ce⊥bd的延長於e 。求證：bd＝2ce
6連線已知點，構造全等三角形。
例如：已知：如圖9；ac、bd相交於o點，且ab＝dc，ac＝bd，求證：∠a＝∠d。
九、取線段中點構造全等三有形。
例如：如圖10：ab＝dc，∠a＝∠d 求證：∠abc＝∠dcb。
幾何證明輔助線專題學習 基礎
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