中考數學專題幾何證明壓軸題
1、如圖,在梯形abcd中,ab∥cd,∠bcd=90°,且ab=1,bc=2,tan∠adc=2.
(1) 求證:dc=bc;
(2) e是梯形內一點,f是梯形外一點,且∠edc=∠fbc,de=bf,試判斷△ecf的形狀,並證明你的結論;
(3) 在(2)的條件下,當be:ce=1:2,∠bec=135°時,求sin∠bfe的值.
[解析] (1)過a作dc的垂線am交dc於m,
則am=bc=2.
又tan∠adc=2,所以.即dc=bc.
(2)等腰三角形.
證明:因為.
所以,△dec≌△bfc
所以,.
所以,即△ecf是等腰直角三角形.
(3)設,則,所以.
因為,又,所以.
所以所以.
2、已知:如圖,在□abcd 中,e、f分別為邊ab、cd的中點,bd是對角線,ag∥db交cb的延長線於g.
(1)求證:△ade≌△cbf;
(2)若四邊形 bedf是菱形,則四邊形agbd是什麼特殊四邊形?並證明你的結論.
[解析] (1)∵四邊形abcd是平行四邊形,
∴∠1=∠c,ad=cb,ab=cd .
∵點e 、f分別是ab、cd的中點,
∴ae=ab ,cf=cd .
∴ae=cf
∴△ade≌△cbf .
(2)當四邊形bedf是菱形時,
四邊形 agbd是矩形.
∵四邊形abcd是平行四邊形,
∴ad∥bc .
∵ag∥bd ,
∴四邊形 agbd 是平行四邊形.
∵四邊形 bedf 是菱形,
∴de=be .
∵ae=be ,
∴ae=be=de .
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠adb=90°.
∴四邊形agbd是矩形
3、如圖13-1,一等腰直角三角尺gef的兩條直角邊與正方形abcd的兩條邊分別重合在一起.現正方形abcd保持不動,將三角尺gef繞斜邊ef的中點o(點o也是bd中點)按順時針方向旋轉.
(1)如圖13-2,當ef與ab相交於點m,gf與bd相交於點n時,通過觀察或測量bm,fn的長度,猜想bm,fn滿足的數量關係,並證明你的猜想;
(2)若三角尺gef旋轉到如圖13-3所示的位置時,線段fe的延長線與ab的延長線相交於點m,線段bd的延長線與gf的延長線相交於點n,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
[解析](1)bm=fn.
證明:∵△gef是等腰直角三角形,四邊形abcd是正方形,
∴ ∠abd =∠f =45°,ob = of.
又∵∠bom=∠fonobm≌△ofn .
∴ bm=fn.
(2) bm=fn仍然成立.
(3) 證明:∵△gef是等腰直角三角形,四邊形abcd是正方形,
∴∠dba=∠gfe=45°,ob=of.
∴∠mbo=∠nfo=135°.
又∵∠mob=∠nof, ∴ △obm≌△ofn .
∴ bm=fn.
4、如圖,已知⊙o的直徑ab垂直於弦cd於e,鏈結ad、bd、oc、od,且od=5。
(1)若,求cd的長;
(2)若 ∠ado:∠edo=4:1,求扇形oac(陰影部分)的面積(結果保留)。
[解析] (1)因為ab是⊙o的直徑,od=5
所以∠adb=90°,ab=10
在rt△abd中,
又,所以,所以
因為∠adb=90°,ab⊥cd
所以所以所以所以(2)因為ab是⊙o的直徑,ab⊥cd
所以所以∠bad=∠cdb,∠aoc=∠aod
因為ao=do,所以∠bad=∠ado
所以∠cdb=∠ado
設∠ado=4x,則∠cdb=4x
由∠ado:∠edo=4:1,則∠edo=x
因為∠ado+∠edo+∠edb=90°
所以所以x=10°
所以∠aod=180°-(∠oad+∠ado)=100°
所以∠aoc=∠aod=100°
5、如圖,已知:c是以ab為直徑的半圓o上一點,ch⊥ab於點h,直線ac與過b點的切線相交於點d,e為ch中點,連線ae並延長交bd於點f,直線cf交直線ab於點g.
(1)求證:點f是bd中點;
(2)求證:cg是⊙o的切線;
(3)若fb=fe=2,求⊙o的半徑.
[解析] (1)證明:∵ch⊥ab,db⊥ab,∴△aeh∽afb,△ace∽△adf
∴,∵he=ec,∴bf=fd
(2)方法一:連線cb、oc,
∵ab是直徑,∴∠acb=90°∵f是bd中點,
∴∠bcf=∠cbf=90°-∠cba=∠cab=∠aco
∴∠ocf=90°,∴cg是⊙o的切線---------6′
方法二:可證明△ocf≌△obf(參照方法一標準得分)
(3)解:由fc=fb=fe得:∠fce=∠fec
可證得:fa=fg,且ab=bg
由切割線定理得:(2+fg)2=bg×ag=2bg2
在rt△bgf中,由勾股定理得:bg2=fg2-bf2
由、得:fg2-4fg-12=0
解之得:fg1=6,fg2=-2(捨去)
∴ab=bg=
∴⊙o半徑為2
6、如圖,已知o為原點,點a的座標為(4,3),
⊙a的半徑為2.過a作直線平行於軸,點p在直線上運動.
(1)當點p在⊙o上時,請你直接寫出它的座標;
(2)設點p的橫座標為12,試判斷直線op與⊙a的位置關係,並說明理由.
[解析]
解:點p的座標是(2,3)或(6,3)
作ac⊥op,c為垂足.
∵∠acp=∠obp=,∠1=∠1
∴△acp∽△obp
在中, ,又ap=12-4=8,
∴∴ac=≈1.94
∵1.94<2
∴op與⊙a相交
7、如圖,延長⊙o的半徑oa到b,使oa=ab,
de是圓的一條切線,e是切點,過點b作de的垂線,
垂足為點c.
求證:∠acb=∠oac.
[解析]
證明:鏈結oe、ae,並過點a作af⊥de於點f, (3分)
∵de是圓的一條切線,e是切點,
∴oe⊥dc,
又∵bc⊥de,
∴oe∥af∥bc.
∴∠1=∠acb,∠2=∠3.
∵oa=oe,
∴∠4=∠3.
∴∠4=∠2.
又∵點a是ob的中點,
∴點f是ec的中點.
∴ae=ac.
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠2=∠1.
即∠acb=∠oac.
8、如圖1,一架長4公尺的梯子ab斜靠在與地面om垂直的牆壁on上,梯子與地面的傾斜角α為.
求ao與bo的長;
若梯子頂端a沿no下滑,同時底端b沿om向右滑行.
①如圖2,設a點下滑到c點,b點向右滑行到d點,並且ac:bd=2:3,試計算梯子頂端a沿no下滑多少公尺;
②如圖3,當a點下滑到a』點,b點向右滑行到b』點時,梯子ab的中點p也隨之運動到p』點.若∠pop』=,試求aa』的長.
[解析]
中,∠o=,∠α=
∴,∠oab=,又ab=4公尺,
∴公尺.公尺3分)
設在中,
根據勾股定理:
5分)∴∵ ∴
7分)ac=2x=
即梯子頂端a沿no下滑了公尺. ---- (8分)
∵點p和點分別是的斜邊ab與的斜邊的中點
9分)10分)∴∴
∵11分)
∴----- (12分)
∴公尺13分)
9.(重慶,10分)如圖,在平面直角座標系內,已知點a(0,6)、點b(8,0),動點p從點a開始**段ao上以每秒1個單位長度的速度向點o移動,同時動點q從點b開始**段ba上以每秒2個單位長度的速度向點a移動,設點p、q移動的時間為t秒.
(1) 求直線ab的解析式;(2) 當t為何值時,△apq與△aob相似?
(3) 當t為何值時,△apq的面積為個平方單位?
解:(1)設直線ab的解析式為y=kx+b
由題意,得解得
所以,直線ab的解析式為y=-x+6.
(2)由ao=6, bo=8 得ab=10
所以ap=t ,aq=10-2t
1° 當∠apq=∠aob時,△apq∽△aob.
所以 = 解得 t=(秒)
2° 當∠aqp=∠aob時,△aqp∽△aob.
所以 = 解得 t=(秒)
(3)過點q作qe垂直ao於點e.
在rt△aob中,sin∠bao==
在rt△aeq中,qe=aq·sin∠bao=(10-2t)·=8 -t所以,s△apq=ap·qe=t·(8-t)
=-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒).
(注:過點p作pe垂直ab於點e也可,並相應給分)
點撥:此題的關鍵是隨著動點p的運動,△apq的形狀也在發生著變化,所以應分情況:①∠apq=∠aob=90○②∠apq=∠abo.這樣,就得到了兩個時間限制.同時第(3)問也可以過p作 pe⊥ab.
10.(南充,10分)如圖2-5-7,矩形abcd中,ab=8,bc=6,對角線ac上有乙個動點p(不包括點a和點c).設ap=x,四邊形pbcd的面積為y.
(1)寫出y與x的函式關係,並確定自變數x的範圍.
(2)有人提出乙個判斷:「關於動點p,⊿pbc面積與⊿pad面積之和為常數」.請你說明此判斷是否正確,並說明理由.
解:(1)過動點p作pe⊥bc於點e.
在rt⊿abc中,ac=10, pc=ac-ap=10-x.
∵ pe⊥bc,ab⊥bc,∴⊿pec∽⊿abc.
故 ,即
∴⊿pbc面積=
又⊿pcd面積=⊿pbc面積=
即 y,x的取值範圍是0<x<10.
(2)這個判斷是正確的
理由: 由(1)可得,⊿pad面積=
⊿pbc面積與⊿pad面積之和=24.
點撥:由矩形的兩邊長6,8.可得它的對角線是10,這樣pc=10-x,而面積y是乙個不規則的四邊形,所以可以把它看成規則的兩個三角形:△pbc、△pcd.這樣問題就非常容易解決了.
中考數學超好幾何證明壓軸題
1 如圖,在梯形abcd中,ab cd,bcd 90 且ab 1,bc 2,tan adc 2.1 求證 dc bc 2 e是梯形內一點,f是梯形外一點,且 edc fbc,de bf,試判斷 ecf的形狀,並證明你的結論 3 在 2 的條件下,當be ce 1 2,bec 135 時,求sin b...
2019中考幾何證明題
中考幾何證明題訓練 1 已知 abc是正三角形,p是三角形內一點,pa 3,pb 4,pc 5 求 apb的度數 初二 2 設p是平行四邊形abcd內部的一點,且 pba pda 求證 pab pcb 初二 3 設abcd為圓內接凸四邊形,求證 ab cd ad bc ac bd 初三 4 平行四邊...
2019中考複習 幾何證明 三
1.2011安徽蕪湖,21,8分 如圖,在梯形abcd中,dc ab,ad bc,bd平分過點d作,過點c作,垂足分別為e f,連線ef,求證 為等邊三角形.答案 證明 因為dc ab,所以.又因為平分,所以 2分 因為dc ab,所以,所以 所以4分 因為,所以f為bd中點,又因為,所以 6分 由...