1.如圖10-1，四邊形abcd是正方形，g是cd邊上的乙個動點(點g與c、d不重合)，以cg為一邊在正方形abcd外作正方形cefg，鏈結bg，de．我們**下列圖中線段bg、線段de的長度關係及所在直線的位置關係：
（1）①請直接寫出圖10-1中線段bg、線段de的數量關係及所在直線的位置關係；
②將圖10-1中的正方形cefg繞著點c按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖10-2、如圖10-3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,並選取圖10-2證明你的判斷．
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖10-4～10-6），且 ，試判斷（1）①中得到的結論哪個成立，哪個不成立？並寫出你的判斷，不必證明.
（3）在圖10-5中，鏈結、，且，則
答案： ⑴①bg＝de；
bg⊥de；
②①中得到的結論仍然成立
⑵bg⊥de成立；
bg＝de不成立
⑶be2+dg2=25
2.如圖1，△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，bd是中線，ce⊥bd於點e，交ab於點f。求證：∠adf＝∠cde。
簡證：過點a作ag⊥ac交cf的延長線於點g。
因為∠１＝90°－∠３＝∠２，ac＝bc，
所以△cag≌△bcd（asa
所以ag＝cd＝ad，∠g＝∠cde。
因為∠４＝45°＝∠５，af＝af,
所以△adf≌△agf（sas）。
所以∠adf＝∠g＝∠cde。
3.如圖 ，四邊形abcd中，ac平分∠bad，ce⊥ab於點e，ae＝（ad＋ab）。求證：∠adc＋∠abc＝180°。
簡證：過點c作cf⊥ad交ad的延長線於點f。
因為∠２＝∠３，ac＝ac，
所以△acf≌△ace（aas）。
所以cf＝ce，af＝ae。
因為ad＋ab＝２ae，ab＝ae＋eb，
所以eb＝ae－ad。
因為fd＝af－ad，
所以eb＝fd。
所以△ceb≌△cfd（sas）。
所以∠abc＝∠5。
所以∠adc＋∠abc＝∠adc＋∠５＝180°。
4. 已知：，平分．
⑴在圖1中，若＝120°，＝＝90°，
＋ ．（填寫
⑵在圖2中，若＝120°，＋＝180°，則⑴中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
⑶在圖3中：
①若＝60°，＋＝180°，判斷＋與的數量關係，並說明理由；
②若＝α（0°＜α＜180°），＋＝180°，則＋＝____（用含α的三角函式表示,直接寫出結果，不必證明）
23.解：
(1) ab＋ad = ac1分
(2) 仍然成立．
證明：如圖2過c作ce⊥am於e，cf⊥an於f，
則∠cea=∠cfa=90°．
∵ ac平分∠man，∠man=120°，
∴ ∠mac=∠nac=60°．
又∵ ac=ac， ∴ △aec≌△afc，
∴ ae=af，ce=cf．
∵ 在rt△cea中，∠eac=60°，
∴ ∠eca=30°， ∴ ac=2ae．
∴ ae+af=2ae=ac． ∴ ed+da+af=ac．
∵ ∠abc＋∠adc＝180°，∠cde+∠adc=180°，
∴ ∠cde=∠cbf．
又∵ ce=cf，∠ced=∠cfb， ∴ △ced≌△cfb．
∴ ed=fb， ∴ fb+da+af=ac．
∴ ab+ad=ac
(3)①ab+ad=ac．
證明：如圖3，方法同(2)可證△agc≌△ahc．
∴ag=ah．
∵∠man=60°， ∴∠gac=∠hac=30°．
∴ag=ah=ac．∴ag+ah=ac．
∴gd+da+ah=ac．
方法同(2)可證△gdc≌△hbc．
∴gd=hb， ∴ hb+da+ah=ac．
∴ad+ab=ac．
②ab＋ad＝·ac．
5.如圖所示，四邊形oabc是一張放在平面直角座標系中的正方形紙片，點o與座標原點重合，點a在x軸上，點c在y軸上，oc=4，點e為bc的中點，點n的座標為（3，0），過點n且平行於y軸的直線mn與eb交於點m，現將紙片摺疊，使頂點c落在mn上，並與mn上的點g重合，摺痕為ef，點f為摺痕與y軸的交點。
（1）求點g的座標；
（2）求摺痕ef所在直線的解析式；
（3）設點p為直線ef上的點，是否存在這樣的點p，使得以p、f、g為頂點的三角形為等腰三角形，若存在，請直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由。
答案：（1）∵四邊形abco是正方形
∴bc=oa=4
∵e為cb中點，∴eb=2
∵mn//y軸，n（3，0）
∴mn⊥eb，且mb=na=1
∴em=1
而∴∠egm=30°，∴mg=eg·cos30°=
∴g（3，）
（2）∵∠egm=30°
∴∠meg=∠feg=∠cef=60°
∴cf=ce·tan60°
∴fo=。∴f（0，），e（2，4）
設直線ef的解析式為
∴摺痕ef所在直線解析式為
（3）如圖所示，。
6. 如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b=，ad=ab=2,點e是ab邊上一動點(點e不與點a、b重合)，鏈結ed，過ed的中點f作ed的垂線，交ad於點g,交bc於點k,過點k作km⊥ad於m．
(1) 當e為ab中點時，求的值；
(2) 若, 則的值等於
(3) 若（為正整數），
則的值等於用含的式子表示）．
答案：（1）連線ge．
∵km⊥ad，kg是de的垂直平分線
∴∠kmg=∠dfg=90°
∴∠gkm=∠gdf
∵mk=ab=ad,∠kmg=∠dae=90°
∴δkmg≌δdae
∴mg = ae
∵e是ab中點，且ab=ad=2
∴ae=mg=1
∵kg是de的垂直平分線
∴ge=gd
設ge=gd=x
則ag=2-x
在rtδaeg中，∠eag=90°，
由勾股定理得（2-x）2+12=x2
∴x= ∴dm=gd-gm23）
7.如圖所示，等腰rt△abc的直角邊ab=2，點p、q分別從a、c兩點同時出發，以相同速度做直線運動。已知點p沿射線ab運動，點q沿邊bc的延長線運動，pq與直線ac相交於點d。
（1）設ap的長為x，△pcq的面積為s，求出s關於x的函式關係式；
（2）當ap的長為何值時，？
（3）作pe⊥ac於e，當點p、q運動時，線段de的長度是否改變？證明你的結論。
答案：（1）①當點p**段ab上時，如圖（1）所示
∵ap=cq=x，pb=2－x∴即
②當點p在ab延長線上時，如圖（2）所示
∵ap=cq=x，pb=x－2
即（2）
①令，即，此方程無實根；
②令，即。
解得，捨去負值。
。故當ap的長為時，
（3）作pf//bc交ac的延長線於f，則ap=pf=cq，ae=ef
∴∴df=cd
①當點p**段ab上時，
∴②當點p在ab的延長線上時，
∴de=ef－fd
故當p、q運動時，線段de的長度保持不變，始終等於
8. 我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．經過證明我們可得三角形重心具備下面的性質： 重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為2﹕1．請你用此性質解決下面的問題.
已知：如圖，點為等腰直角三角形的重心，，直線過點,過三點分別作直線的垂線，垂足分別為點
(1)當直線與平行時（如圖1），請你猜想線段和三者之間的數量關係並證明；
(2) 當直線繞點旋轉到與不平行時，分別**在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段三者之間又有怎樣的數量關係？請寫出你的結論，不需證明．
答案：（1）猜想：be+cf=ad
證明：如圖，延長ao交bc於m點，
∵點為等腰直角三角形的重心
∴ao=2om且am⊥bc
又∵ef∥bc ∴am ⊥ef
∵be⊥ef,cf⊥ef
∴eb∥om∥cf
∴eb=om=cf
∴eb+cf=2om=ad
（2）圖2結論：be+cf=ad
證明：聯結ao並延長交bc於點g,
過g做gh⊥ef於h
由重心性質可得ao=2og
∵∠ado=∠ohg=90°, ∠aod=∠hog
∴△aod∽△goh
∴ad=2hg
∵o為重心
∴g為bc中點
∵gh⊥ef,be⊥ef,cf⊥ef
∴eb∥hg∥cf
∴h為ef中點
∴hg= (eb+cf)
∴eb+cf=ad3)cf－be= ad
9.已知：如圖所示，梯形abcd中，ab//cd，∠c=90°，ab=bc=4，cd=6。
（1）點e為bc邊上一點，ef//ad，交cd邊於點f，fg//ea，交ad邊於點g，若四邊形aefg為矩形，求be的長；
（2）如圖所示，將（1）中的∠aef繞e點逆時針旋轉為∠，交cd邊於點，且點與d點不重合，射線交ab邊於點m，作n//交ad邊於點n，設bm為x，中，邊上的高為y，求y關於x的函式解析式及自變數x的取值範圍。
答案：（1）作ah⊥cd於點h（如圖所示）
∵四邊形aefg為矩形
∴∠aef=90°
∴∠1+∠3=90°
∵∠c=90°，∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∵ef//ad。∴∠2=∠d
∴∠1=∠d
∵ab=bc=ch=4
∴hd=cd－ch=2
中考數學題型訓練 幾何證明
幾何證明 中等 1 基本型 1 肇慶2010 8分 如圖，已知 acb 90 ac bc，be ce於e，ad ce於d，ce與ab相交於f 1 求證 ceb adc 2 若ad 9cm，de 6cm，求be及ef的長 針對性訓練 1 已知 正方形abcd中，e f分別是邊cd da上的點，且ce ...
幾何證明選講專題 知識點 經典題型
幾何證明選講性質定理彙總 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等。經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。平行於三...
經典解析幾何題型方法
高考專題 解析幾何常規題型及方法 高考核心考點 1 準確理解基本概念 如直線的傾斜角 斜率 距離 截距等 2 熟練掌握基本公式 如兩點間距離公式 點到直線的距離公式 斜率公式等 3 熟練掌握求直線方程的方法 如根據條件靈活選用各種形式 討論斜率存在和不存在的各種情況 截距是否為0等等 4 在解決直線...