1.已知，如圖，正方形abcd，菱形efgp，點e、f、g分別在ab、ad、cd上，延長dc，ph⊥dc於h．
（1）求證：gh=ae；
（2）若菱形efgp的周長為20cm，，fd=2，求△pgc的面積．
解答：（1）證明：由菱形性質知：∠efg+∠fgp=180°，ef=gp=ep=fg，
又∠aef+∠afe=90°，∠dfg+∠dgf=90°，∠afe+∠efg+∠dfg=180°，∠dgf+∠fgp+∠pgh=180°，
∴∠aef=∠gph，
又∠a=∠h，
∴△aef≌△hgp，（aas）
∴gh=ae；
（2）解：∵菱形efgp的周長為20cm，
∴ef=gp=ep=fg=5cm，
又，∴在△aef中，af=4，ae=5，
又fd=2，
∴正方形邊長=ad=dc=6，
在△dfg中，dg==，
∴gc=6﹣，
又由（1）知ph=af，
∴△pgc的面積=×gc×ph=×gc×af=12﹣2（cm2）．
點評：本題考查了正方形性質以及菱形性質，是基礎題．
2.如圖，正方形abcd中，ab=，點e、f分別在bc、cd上，且∠bae=30°，∠daf=15度．
（1）求證：df+be=ef；
（2）求：∠efc的度數；
（3）求：△aef的面積．
解答：解：（1）延長eb至g，使bg=df，連線ag，
∵正方形abcd，
∴ab=ad，∠abg=∠adf=∠bad=90°，
∵bg=df，
∴△abg≌△adf，
∴ag=af，
∵∠bae=30°，∠daf=15°，
∴∠fae=∠gae=45°，
∵ae=ae，
∴△fae≌△gae，
∴ef=eg=gb+be=df+be；
（2）∵△age≌△afe，
∴∠afe=∠age=75°，
∵∠dfa=90°﹣∠daf=75°，
∴∠efc=180°﹣∠dfa﹣∠afe=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠efc=30°．
（3）∵ab=bc=，∠bae=30°，
∴be=1，ce=﹣1，
∵∠efc=30°，
∴cf=3﹣，
∴s△cef=cecf=2﹣3，
由（1）知，△abg≌△adf，△fae≌△gae，
∴s△aef=s正方形abcd﹣s△adf﹣s△aeb﹣s△cef=s正方形abcd﹣s△aef﹣s△cef，
s△aef=s正方形abcd﹣s△aef﹣s△cef=3﹣．
點評：解答本題利用正方形的特殊性質，通過證明三角形全等，得出線段間的關係，同時考查了三角函式的運用，及組合圖形的面積計算．
3.如圖1所示，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠dcb=75°，ab⊥bc，以cd為一邊的等邊△dce的另一頂點e在腰ab上．
（1）求∠aed的度數；
（2）求證：ab=bc；
（3）如圖2所示，若f為線段cd上一點，∠fbc=30°，△bfc的面積=4cm2，求ab的長度．
解答：解：（1）∵在直角梯形abcd中，ad∥bc，
∴∠dcb+∠adc=180°，∠bad=∠b=90°，
∵∠dcb=75°，
∴∠adc=105°，
∵△dce是等邊三角形，
∴∠edc=∠dce=60°，
∴∠eda=45°，
∴∠aed=45°，
答：∠aed的度數是45°；
（2）證明：連線ac，
∵∠aed=∠ade=45°，
∴ae=ad
∵△dce是等邊三角形，
∴ce=cd
∵ac=ac，
∴△dca≌△eca，
∴∠eca=∠dca=30°，
∵∠dcb=75°，
∴∠acb=45°
∵∠b=90°，
∴∠cab=45°，
∴∠cab=∠acb，
∴ab=bc；
（3）解：作fg⊥bc於g，
∵∠dcb=75°，∠cbf=30°，
∴∠bfc=75°，
∴∠dcb=∠bfc，
∴bc=bf，
在rt△bfg中，∠cbf=30°，
∴bf=2fg=bc，
∵bc×fg=4，
∴bc2=4cm2，
∴bc=4cm，
∴ab=bc=4cm，
即ab長為4cm．
答：ab的長度是4cm．
點評：本題主要考查對直角梯形，全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，三角形的面積，含30度角的直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行證明是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．
4.如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，∠abd=90°，ab=bd，在bc上擷取be，使be=ba，過點b作bf⊥bc於b，交ad於點f．連線ae，交bd於點g，交bf於點h．
（1）已知ad=，cd=2，求sin∠bcd的值；
（2）求證：bh+cd=bc．
解答：（1）解：在rt△abd中，∠abd=90°，ab=bd，ad=，
則ab=bd=4，…（1分）
在rt△cbd中，∠bdc=90°，cd=2，bd=4，
所以bc=，…（2分）
sin∠bcd===．…（4分）
（2）證明：過點a作ab的垂線交bf的延長線於m．
∵∠dba=90°，∴∠1+∠3=90°．
∵bf⊥cb於b，∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠1．…（5分）
∵ba=bd，∠bam=∠bdc=90°，
∴△bam≌△bdc．
∴bm=bc，am=cd．…（7分）
∵eb=ab，∴∠7=∠5．
bh=bg．…（8分）
∴∠4=∠1+∠5=∠2+∠7=∠6．
∵∠8=∠4，∠mah=∠6，
∴∠8=∠mah，∴am=mh=cd．…（9分）
∴bc=bm=bh+hm=bh+cd． …（10分）
其他解法，參照給分．
點評：本題考查梯形、全等三角形的判定與性質及等腰直角三角形的知識，是一道小的綜合題，注意對這些知識的熟練掌握和靈活運用．
5.已知：如圖，△abc中，∠abc=45°，cd⊥ab於d，be平分∠abc，且be⊥ac於e，與cd相交於點f，h是bc邊的中點，連線dh與be相交於點g．
（1）求證：bf=ac；
（2）求證：ce=bf；
（3）ce與bg的大小關係如何？試證明你的結論．
解答：（1）證明：∵cd⊥ab，∠abc=45°，
∴△bcd是等腰直角三角形．
∴bd=cd．
在rt△dfb和rt△dac中，
∵∠dbf=90°﹣∠bfd，∠dca=90°﹣∠efc，且∠bfd=∠efc，
∴∠dbf=∠dca．
又∵∠bdf=∠cda=90°，bd=cd，
∴rt△dfb≌rt△dac．
∴bf=ac；
（2）證明：在rt△bea和rt△bec中
∵be平分∠abc，
∴∠abe=∠cbe．
又∵be=be，∠bea=∠bec=90°，
∴rt△bea≌rt△bec．
∴ce=ae=ac．
又由（1），知bf=ac，
∴ce=ac=bf；
（3）證明：∠abc=45°，cd垂直ab於d，則cd=bd．
h為bc中點，則dh⊥bc（等腰三角形「三線合一」）
連線cg，則bg=cg，∠gcb=∠gbc=22.5°，∠egc=45°．
又∵be垂直ac，故∠egc=∠ecg=45°，ce=ge．
∴ce2+ge2=cg2=bg2；
即2ce2=bg2，bg=ce．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、hl．在複雜的圖形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握並應用此點
6.在rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac=2，點d在bc所在的直線上運動，作∠ade=45°（a，d，e按逆時針方向）．
（1）如圖1，若點d**段bc上運動，de交ac於e．
①求證：△abd∽△dce；
②當△ade是等腰三角形時，求ae的長．
（2）①如圖2，若點d在bc的延長線上運動，de的反向延長線與ac的延長線相交於點e，是否存在點d，使△ade'是等腰三角形？若存在，寫出所有點d的位置；若不存在，請簡要說明理由；
②如圖3，若點d在bc的反向延長線上運動，是否存在點d，使△ade是等腰三角形？若存在，寫出所有點d的位置；若不存在，請簡要說明理由．
解答：解：（1）①由∠bac=90°，ab=ac，推出∠b=∠c=45°．
由∠bad+∠adb=135°，∠adb+∠edc=135°得到∠bad=∠edc．
推出△abd∽△dce．
②分三種情況：
（ⅰ）當ad=ae時，∠ade=∠aed=45°時，得到∠dae=90°，點d、e分別與b、c重合，所以ae=ac=2．
（ⅱ）當ad=de時，由①知△abd∽△dce，
又ad=de，知△abd≌△dce．
所以ab=cd=2，故bd=ce=2，
所以ae=ac﹣ce=4﹣2．
（ⅲ）當ae=de時，有∠ead=∠ade=45°=∠c，
故∠adc=∠aed=90°．
所以de=ae=ac=1．
（2）①存在（只有一種情況）．
由∠acb=45°推出∠cad+∠adc=45°．
由∠ade=45°推出∠dac+∠de′a=45°．
從而推出∠adc=∠de′a．證得△adc∽△ae′d．
所以，又ad=de′，所以dc=ac=2．
②不存在．
因為d和b不重合，
所以∠aed＜45°，∠ade=45°，
∠dae＞90度．
所以ad≠ae．
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