考點51 幾何證明選講
一、選擇題
1.（2012·北京高考理科·ｔ5）如圖. ∠acb=90，cd⊥ab於點d，以bd為直徑的圓與bc交於點e.則( )
a. ce·cb=ad·db b. ce·cb=ad·ab
c. ad·ab=cdd.ce·eb=cd
【解題指南】利用切割線定理及直角三角形中的射影定理.
【解析】選a.cd，以bd為直徑的圓與cd相切，。
在中，cd為斜邊ab上的高，有，
因此，ce·cb=ad·db.
二、填空題
2.（2012·湖北高考理科·ｔ15）如圖，點d在⊙o的弦ab上移動，ab=4，連線od，過點d作od的垂線交⊙o於點c，則cd的最大值為
【解題指南】本題考查直線與圓的位置關係，解答本題的關鍵是利用直線與圓的位置關係，取ab的中點，連oc，把cd表示出來.
【解析】取ab的中點為e，連線cd，oe，則，要求cd的最大值，則點d與e重合.可知結果為：2.
【答案】2.
3.（2012·陝西高考理科·ｔ15）如圖，在圓中，直徑ab與弦cd垂直，垂足為e，，垂足為f，若，，則
【解題指南】圍繞rt△bde和圓的有關性質列出成比例線段.
【解析】連線ad,因為，,所以be=5, 在rt△abd中，,,在rt△bde中,由射影定理得.
【答案】5.
4. （2012·廣東高考文科·ｔ15）如圖所示，直線pb與圓o相切於點b,d是弦ac上的點，.若ad=m,ac=n,則ab
【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質。判斷出,從而證出是解決此問題的關鍵.
【解析】由題意知，所以,
所以所以.
【答案】.
5.（2012·廣東高考理科·ｔ15）如圖，圓o的半徑為1，a、b、c是圓周上的三點，滿足，過點a作圓o的切線與oc的延長線交於點p，則pa
【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質。連線oa，ac
從而可得, 為等邊三角形，, 為等腰三角形，並且ac=cp=1,到此問題基本得以解決.
【解析】連線ao、ac，因為,所以,為等邊三角形，則為等腰三角形，且.
【答案】.
6.（2012·天津高考文科·ｔ13）與（2012·天津高考理科·ｔ13）相同
如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交於點d，過點c作bd的平行線與圓相交於點e，與ab相交於點f，af=3，fb=1，，則線段cd的長為
【解題指南】利用相交線及切線的比例關係求解。
【解析】設cd=x,則ad=4x,因為af·fb=cf·fe,所以cf=2,
又,又.
【答案】.
考點49 幾何證明選講
一、選擇題
1.（2011·北京高考理科·t5）如圖，ad,ae,bc分別與圓o切於點d,e,f，延長af與圓o交於另一點g.給出下列三個結論：
①ad+ae=ab+bc+ca;②;③.其中正確結論的序號
是（ ）
ab.②③
cd.①②③
【思路點撥】利用切割線定理、割線定理、弦切角定理.
【精講精析】選a.ab+bc+ca=ab+(bf+cf)+ca=ab+(bd+ce)+ca=ad+ae，故①正確；因為，，，故②正確； ，，不相似，故③不正確.
二、填空題
2．（2011·陝西高考理科·t15b）（幾何證明選做題）如圖，∠b=∠d，，，且ab=6，ac=4，ad=12，則be
【思路點撥】尋找兩個三角形相似的條件，再根據相似三角形的對應邊成比例求解．
【精講精析】答案：
因為，所以∠aeb=，
又因為∠b=∠d，所以△aeb∽△acd，所以,
所以，在rt△aeb中，．
3．（2011·陝西高考文科·t15b）（幾何證明選做題）如圖，∠b=∠d，，，且ab=6，ac=4，ad=12，則ae
【思路點撥】尋找兩個三角形相似的條件，再根據相似三角形的對應邊成比例求解．
【精講精析】答案：2
因為，所以∠aeb=，
又因為∠b=∠d，所以△aeb∽△acd，所以，所以．
4.（2011·廣東高考理科·ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓於,且，是圓上一點使得，，則 .
【思路點撥】利用相似三角形對應邊成比例，求得的值.
【精講精析】答案：
,～, ,從而..
5.（2011·廣東高考文科·ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形abcd中，ab∥cd，ab=4，cd=2. e,f分別為ad，bc上的點，且ef=3，ef∥ab，則梯形abfe與梯形efcd的面積比為
【思路點撥】利用相似三角形面積比等於相似比的平方求解.
【精講精析】答案：
延長ad、bc相交於點g..由已知gab∽gdc， gef∽gdc,所以，，
從而, ,所以梯形abcd與梯形efcd的面積比為3： =,從而得梯形abfe與梯形efcd的面積比為
6．（2011·湖南高考理科·t11）如圖2，a，e是半圓周上的兩個三等分點，直徑bc=4，ad，垂足為d，be與ad相交於點f，則af的長
為______
【思路點撥】本題主要考查平面幾何的推理和證明.考查圓的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理.
【精講精析】答案：.鏈結ab、ao、ce、oe，則是邊長為2的等邊三角形，，ad=，所以得到af=.
7.（2011.天津高考理科.t12）如圖，已知圓中兩條弦與相交於點，是延長線上一點，且若與圓相切，則線段的長為_________
【思路點撥】利用相交線及切線的比例關係求解。
【精講精析】答案：
設be=x,則af=4x,fb=2x,因為,所以,又
考點30 幾何證明選講
1．（2010·陝西高考理科·ｔ１5）如圖,已知的兩條直角邊ac,bc
的長分別為3cm,4cm,以ac為直徑的圓與ab交於點d,
則【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題
【思路點撥】
條件結論
【規範解答】因為以ac為直徑的圓與ab交於點d,所以
，【答案】
2．（2010·陝西高考文科·ｔ１5）如圖，已知rt△abc的兩條直角邊ac，bc的長分別為3cm，4cm，以ac為直徑的圓與ab交於點d，則bd＝ cm.
【命題立意】本題考查幾何證明選做題的解法，屬送分題
【思路點撥】
條件【規範解答】因為以ac為直徑的圓與ab交於點d,所以
，【答案】
3．（2010·北京高考理科·ｔ１2）如圖，的弦ed，cb的延長線
交於點a。若bdae，ab＝4, bc＝2, ad＝3,
則dece
【命題立意】本題考查幾何證明的知識。
運用割線定理是解決本題的突破口。
【思路點撥】本題可由相交弦定理求出de，再利用三個直角三角形中求ce。
【規範解答】由割線定理得，，即，得。。連線be，因為，所以be為直徑，所以。在中，。
在中。在中，。
【答案】5 2
4．（2010·天津高考文科·ｔ１1）如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p。若pb=1，pd=3，則的值為 。
【命題立意】考查三角形的相似性質的應用。
【思路點撥】利用相似三角形的性質轉化。
【規範解答】由題意可知∽相似，
所以。【答案】
5．（2010·天津高考理科·ｔ１4）如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p，若,則的值為
【命題立意】考查三角形的相似性質的應用。
【思路點撥】利用相似三角形的性質進行轉化。
【規範解答】由題意可知∽相似，
所以,由及已知條件
可得,又,。
【答案】
6．（2010·廣東高考文科·ｔ14）如圖3，在直角梯形abcd中，dc∥ab，cb⊥ab，ab=ad=a，cd=，點e，f分別為線段ab，cd的中點，則ef
【命題立意】本題主要考察平面幾何中直角梯形以及三角形中位線的性質.
【思路點撥】利用直角梯形的性質，求出，再利用三角形中位線的性質，求出
【規範解答】過連線，則四邊形為矩形，所以且
，所以， , , 所以是以為底的等腰三角形，即：=，又點e，f分別為線段ab，cd的中點，所以為的中位線，所以
【答案】
7. （2010·廣東高考理科·ｔ14）如圖3，ab，cd是半徑為a的圓o的兩條弦，它們相交於ab的中點p，pd=，∠oap=30°，則cp
【命題立意】本題考察垂徑定理及相交弦定理.
【思路點撥】由垂徑定理得，算出，再由相交弦定理求出
【規範解答】因為為的中點，由垂徑定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，
解得【答案】
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幾何證明選講
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