選修4－1 幾何證明選講
第一節相似三角形的判定及有關性質
1．平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等．
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．
推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．
2．平行線分線段成比例定理
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．
3．相似三角形的判定與性質
(1)判定定理：
(2)性質定理：
1．在使用平行線截割定理時易出現對應線段、對應邊對應順序混亂，導致錯誤．
2．在解決相似三角形的判定或應用時易出現對應邊和對應角對應失誤．
[試一試]
1．如圖，f為abcd的邊ad延長線上的一點，df＝ad，bf分別交dc，ac於g，e兩點，ef＝16，gf＝12，則be的長為________．
解析：由df＝ad，ab∥cd知bg＝gf＝12，又ef＝16知eg＝4，故be＝8.
答案：8
2．在△abc中，點d**段bc上，∠bac＝∠adc，ac＝8，bc＝16，則cd
解析：∵∠bac＝∠adc，∠c＝∠c，∴△abc∽△dac，∴＝，∴cd＝＝＝4.
答案：4
1．判定兩個三角形相似的常規思路
(1)先找兩對對應角相等；
(2)若只能找到一對對應角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例；
(3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對應成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的「傳遞性」．
2．借助圖形判斷三角形相似的方法
(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；
(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或對應邊成比例；
(3)有公共邊的可將圖形旋轉，觀察其特徵，找出相等的角或成比例的對應邊．
[練一練]
1.如圖，d，e分別是△abc的邊ab，ac上的點，de∥bc且＝2，那麼△ade與四邊形dbce的面積比是________．
解析：∵de∥bc，∴△ade∽△abc，
∴＝.∵＝2，∴＝，∴＝，
∴＝.答案：
2.如圖，已知在△abc中，cd⊥ab於d點，bc2＝bd·ab，則∠acb＝______.
解析：在△abc與△cbd中，
由bc2＝bd·ab，
得＝，且∠b＝∠b，
所以△abc∽△cbd.則∠acb＝∠cdb＝90°.
答案：90°
1.如圖，在abcd中，e是bc上一點，be∶ec＝2∶3，ae交bd於f，則bf∶fd
解析：∵ad＝bc，be∶ec＝2∶3，
∴be∶ad＝2∶5.
∵ad∥bc，
∴bf∶fd＝be∶ad＝2∶5.即bf∶fd＝.
答案：2∶5
2.(2013·惠州調研)如圖，在△abc中，de∥bc，df∥ac，ae∶ac＝3∶5，de＝6，則bf
解析：由de∥bc得
＝＝，∵de＝6，∴bc＝10.
又因為df∥ac，所以＝＝＝，即bf＝4.
答案：4
3.如圖，在四邊形abcd中，ef∥bc，fg∥ad，則
解析：由平行線分線段成比例定理得
＝，＝，
故＋＝＋＝＝1.
答案：1
[類題通法]
比例線段常用平行線產生，利用平行線轉移比例是常用的證題技巧，當題中沒有平行線條件而有必要轉移比例時，也常新增輔助平行線，從而達到轉移比例的目的.
[典例] (2013·陝西高考)如圖，弦ab與cd相交於⊙o內一點e，過e作bc的平行線與ad的延長線交於點p.已知pd＝2da＝2，則pe
[解析] 由pe∥bc知，∠a＝∠c＝∠ped.在△pde和△pea中，∠ape＝∠epd，∠a＝∠ped，故△pde∽△pea，則＝，於是pe2＝pa·pd＝3×2＝6，所以pe＝.
[答案]
[類題通法]
1．判定兩個三角形相似要注意結合圖形特徵靈活選擇判定定理，特別要注意對應角和對應邊．
2．相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等；也可間接證明線段相等．
[針對訓練]
(2013·佛山質檢)如圖，∠b＝∠d，ae⊥bc，∠acd＝90°，且ab＝6，ac＝4，ad＝12，則be
解析：由於∠b＝∠d，∠aeb＝∠acd，所以△abe∽△adc，從而得＝，解得ae＝2，故be＝＝4.
答案：4
[典例] 如圖所示，在△abc中，∠cab＝90°，ad⊥bc於d，be是∠abc的平分線，交ad於f，求證：＝.
[證明] 由三角形的內角平分線定理得，
在△abd中，＝， ①
在△abc中，＝， ②
在rt△abc中，由射影定理知，ab2＝bd·bc，
即＝. ③
由①③得：＝， ④
由②④得：＝.
[類題通法]
1．在使用直角三角形射影定理時，要學會將「乘積式」轉化為相似三角形中的「比例式」．
2．證題時，要注意作垂線構造直角三角形是解直角三角形時常用的方法．
[針對訓練]
在rt△acb中，∠c＝90°，cd⊥ab於d，若bd∶ad＝1∶9，則tan∠bcd
解析：由射影定理得cd2＝ad·bd，又bd∶ad＝1∶9，
令bd＝x，則ad＝9x(x>0)．
∴cd2＝9x2，∴cd＝3x.
rt△cdb中，
tan∠bcd＝＝＝.
答案：第二節直線與圓的位置關係
1．圓周角定理
(1)圓周角定理
圓上一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半．
(2)圓心角定理
圓心角的度數等於它所對弧的度數．
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．
2．圓內接四邊形的性質與判定定理
(1)性質
定理1：圓內接四邊形的對角互補．
定理2：圓內接四邊形的外角等於它的內角的對角．
(2)判定
判定定理：如果乙個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點共圓．
推論：如果四邊形的乙個外角等於它的內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點共圓．
3．圓的切線性質及判定定理
(1)性質：
性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑．
推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
(2)判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
(3)弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角．
4．與圓有關的比例線段
(1)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．
(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．
(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．
(4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．
1．易混圓心角與圓周角，在使用時注意結合圖形作出判斷．
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