高考專題訓練二十八幾何證明選講(選修4－1)
班級________ 姓名_______ 時間：45分鐘分值：100分總得分_______
一、填空題(每小題6分，共30分)
1．(2011·陝西)如圖，∠b＝∠d，ae⊥bc，∠acd＝90°，且ab＝6，ac＝4，ad＝12，則be
解析：由∠b＝∠d，ae⊥bc，知△abe∽△adc，
∴＝，∴ae＝·ac＝＝2，∴be＝＝＝4.
答案：4
2.(2011·湖南)如圖，a、e是半圓周上的兩個三等分點，直線bc＝4，ad⊥bc，垂足為d，be與ad相交於點f，則af的長為________．
解析：如圖所示，∵a、e是半圓周上兩個三等分點，
∴△abo和△aoe均為正三角形．
∴ae＝bo＝bc＝2.∵ad⊥bc，
∴ad＝＝，bd＝1.
又∠boa＝∠oae＝60°，∴ae∥bd.
∴△bdf∽△eaf，∴＝＝.
∴af＝2fd，∴3af＝2(fd＋af)＝2ad＝2，
∴af＝.
答案：3．(2011·深圳卷)如圖，a，b是兩圓的交點，ac是小圓的直徑，d和e分別是ca和cb的延長線與大圓的交點，已知ac＝4，be＝10，且bc＝ad，則de
解析：連線ab，設bc＝ad＝x，結合圖形可得
△cab與△ced相似，於是＝.
即＝x＝2.
又因為ac是小圓的直徑，所以∠cba＝90°，
由於∠cde＝∠cba，所以∠cde＝90°.
在直角三角形cde中，de＝＝＝6.
答案：6
4．(2011·佛山卷)如圖，過圓外一點p作⊙o的割線pba與切線pe，e為切點，連線ae、be，∠ape的平分線分別與ae、be相交於點c、d，若∠aeb＝30°，則∠pce
解析：由切割線性質得：pe2＝pb·pa，即＝，
∴△pbe∽△pea，∴∠peb＝∠pae，又△pea的內角和為2(∠cpa＋∠pae)＋30°＝180°，所以∠cpa＋∠pae＝75°，即∠pce＝75°.
答案：75°
5.如圖，在直角梯形abcd中，dc∥ab，cb⊥ab，ab＝ad＝a，cd＝，點e，f分別為線段ab，ad的中點，則ef
分析：本題考查勾股定理及三角形中位線的性質．
解析：連線bd、de，由題意可知de⊥ab，de＝a，bc＝de＝a，∴bd＝＝a，∴ef＝bd＝.
答案：二、解答題(每小題10分，共70分)
6．如圖，已知△abc的兩條角平分線ad和ce相交於h，∠b＝60°，f在ac上，且ae＝af.
(1)求證：b，d，h，e四點共圓；
(2)求證：ce平分∠def.
證明：(1)在△abc中，因為∠b＝60°，所以∠bac＋∠bca＝120°.因為ad，ce是角平分線，所以∠hac＋∠hca＝60°，故∠ahc＝120°.
於是∠ehd＝∠ahc＝120°.因為∠ebd＋∠ehd＝180°，所以b，d，h，e四點共圓．
(2)連線bh，則bh為∠abc的平分線，所以∠hbd＝30°.由(1)知b，d，h，e四點共圓，
所以∠ced＝∠hbd＝30°.
又∠ahe＝∠ebd＝60°，由已知可得ef⊥ad，
可得∠cef＝30°，
所以ce平分∠def.
7．如圖所示，⊙o為△abc的外接圓，且ab＝ac，過點a的直線交⊙o於d，交bc的延長線於f，de是bd的延長線，連線cd.
(1)求證：∠edf＝∠cdf；
(2)求證：ab2＝af·ad.
證明： (1)∵ab＝ac，
∴∠abc＝∠acb.∵四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，∴∠cdf＝∠abc.又∠adb與∠edf是對頂角，
∴∠adb＝∠edf.又∠adb＝∠acb，
∴∠edf＝∠cdf.
(2)由(1)知∠adb＝∠abc.又∵∠bad＝∠fab，
∴△adb∽△abf，∴＝，∴ab2＝af·ad.
8．(2011·遼寧)如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec＝ed.
(1)證明：cd∥ab；
(2)延長cd到f，延長dc到g，使得ef＝eg，證明：a，b，g，f四點共圓．
證明：(1)因為ec＝ed，所以∠edc＝∠ecd.
因為a，b，c，d四點在同一圓上，所以∠edc＝∠eba，
故∠ecd＝∠eba.
所以cd∥ab.
(2)由(1)知，ae＝be，因為ef＝eg，故∠efd＝∠egc，
從而∠fed＝∠gec.
連線af，bg，則△efa≌△egb，故∠fae＝∠gbe.
又cd∥ab，∠edc＝∠ecd，所以∠fab＝∠gba，
所以∠afg＋∠gba＝180°，
故a，b，g，f四點共圓．
9．已知，如圖，ab是⊙o的直徑，g為ab延長線上的一點，gcd是⊙o的割線，過點g作ab的垂線，交直線ac於點e，交ad於點f，過g作⊙o的切線，切點為h.求證：
(1)c，d，f，e四點共圓；
(2)gh2＝ge·gf.
證明：(1)連線cb，∵∠acb＝90°，ag⊥fg，又∵∠eag＝∠bac，
∴∠abc＝∠aeg.∵∠adc＝180°－∠abc＝180°－∠aeg＝∠cef，∴∠adc＋∠fdc＝∠cef＋∠fdc＝180°，
∴c，d，f，e四點共圓．
(2)由c，d，f，e四點共圓，知∠gce＝∠afe，∠gec＝∠gdf，∴△gce∽△gfd，故＝，即gc·gd＝ge·gf.∵gh為圓的切線，gcd為割線，
∴gh2＝gc·gd，∴gh2＝ge·gf.
10．(2011·課標)如圖，d，e分別為△abc的邊ab，ac上的點，且不與△abc的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根．
(1)證明：c，b，d，e四點共圓；
(2)若∠a＝90°，且m＝4，n＝6，求c，b，d，e所在圓的半徑．
解：(1)證明：連線de，根據題意在△ade和△acb中，
ad×ab＝mn＝ae×ac，
即＝.又∠dae＝∠cab，從而△ade∽△acb.
因此∠ade＝∠acb.
所以c，b，d，e四點共圓．
(2)m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12.故ad＝2，ab＝12.
取ce的中點g，db的中點f，分別過g，f作ac，ab的垂線，兩垂線相交於h點，連線dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓的圓心為h，半徑為dh.
由於∠a＝90°，故gh∥ab，hf∥ac.從而hf＝ag＝5，df＝(12－2)＝5.
故c，b，d，e四點所在圓的半徑為5.
11.(2011·哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學第一次聯考)已知四邊形pqrs是圓內接四邊形，∠psr＝90°，過點q作pr、ps的垂線，垂足分別為點h、k.
(1)求證：q、h、k、p四點共圓；
(2)求證：qt＝ts.
證明：(1)∵∠phq＝∠pkq＝90°，
∴q、h、k、p四點共圓．
(2)∵q、h、k、p四點共圓，∴∠hks＝∠hqp， ①
∵∠psr＝90°，∴pr為圓的直徑，∴∠pqr＝90°，∠qrh＝∠hqp
而∠qsp＝∠qrh
由①②③得，∠qsp＝∠hks，ts＝tk，
又∠skq＝90°，∵∠sqk＝∠tkq，∴qt＝tk，∴qt＝ts.
12．(2011·河南省教學質量調研)如圖，已知ad是△abc的外角∠eac的平分線，交bc的延長線於點d，延長da交△abc的外接圓於點f，連線fb、fc.
(1)求證：fb＝fc；
(2)求證：fb2＝fa·fd；
(3)若ab是△abc外接圓的直徑，∠eac＝120°，bc＝6 cm，求ad的長．
解：(1)證明：∵ad平分∠eac.
∴∠ead＝∠dac.
∵四邊形afbc內接於圓，
∴∠dac＝∠fbc.
∵∠ead＝∠fab＝∠fcb，∴∠fbc＝∠fcb，
∴fb＝fc.
(2)證明：∵∠fab＝∠fcb＝∠fbc，∠afb＝∠bfd，
∴△fba∽△fdb，∴＝，
∴fb2＝fa·fd.
(3)∵ab是圓的直徑，∴∠acb＝90°.
∵∠eac＝120°，∴∠dac＝∠eac＝60°，∠bac＝60°.
∴∠d＝30°.
∵bc＝6 cm，∴ac＝2cm，∴ad＝2ac＝4cm.
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