2023年高考數學專題十一：幾何證明選講 （教師版含14年高考題）
1、考綱要求
(1)了解平行線截割定理，會證明並應用直角三角形攝影定理。
⑵會證明並應用圓周角定理，圓的切線的判定地理及性質定理。
⑶會證明並應用相交弦定理,圓內接四邊形的性質定理與判定定理,切割線定理。
⑷了解平行投影的含義，通過援助與平面的位置關係了解平行投影;會證平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓)。
(5)了解下面定理。
定理：在空間中，取直線l為軸，直線l』與l相較於o，其夾角為α，l』圍繞l旋轉得到以o為頂點，l』為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β(π與l平行，記β=0)，則：
① β>α，平面π與圓錐的交線為圓錐，
② β=α，平面π與圓錐的交線為拋物線
③β<α平面π與圓錐的交線為雙曲線。
(6)會利用丹迪林(dandelin)雙球(如下面所示，這兩個球位於圓錐內部，乙個位於平面π的上方，乙個位於平面π的下方，並且與平面π及圓錐面均相切，其切點分別為f,e)正面上述定理①的情形：當時α>β時，平面π與圓錐的相交線為橢圓。
0(圖中上,下兩球與圓錐切面相切的切點分別為b和c，線段bc與平面π相交於a)
(7)會證明以下結果：
①在(6)中，乙個丹迪林球與圓錐的交線為乙個圓，並與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π』.
②如果平面π與平面π』的交線為m，在(5)①中橢圓上任取一點a，該丹迪林球與平面π的切點為f，則點a到點f的距離與點a到直線m的距離比是小於1的常熟e(稱點f為這個橢圓的焦點直線m為橢圓的準線，常數e為離心率)。
(8)了解定理(5)③中的證明，了解當β無線接近α時，平面π的極限結果。
2、高考試題感悟
1、15．[2014·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖11所示，在平行四邊形abcd中，點e在ab上且eb＝2ae，ac與de交於點f，則
圖1115．3
2、21．[2014·江蘇卷] a．[選修41：幾何證明選講]
如圖17所示，ab是圓o的直徑，c，d是圓o上位於ab異側的兩點．
證明：ocb＝d.
圖17證明：因為b，c是圓o上的兩點，所以ob＝oc，
所以ocb＝b.
又因為c，d是圓o上位於ab異側的兩點，
所以b，d為同弧所對的兩個圓周角，
所以∠b＝d，因此ocb＝d.
3、22．[2014·遼寧卷] 選修41：幾何證明選講
圖16如圖16，ep交圓於e，c兩點，pd切圓於d，g為ce上一點且pg＝pd，連線dg並延長交圓於點a，作弦ab垂直ep，垂足為f.
(1)求證：ab為圓的直徑；
(2)若ac＝bd，求證：ab＝ed.
22．證明：(1)因為pd＝pg，所以pdg＝pgd.
由於pd為切線，故pda＝dba.
又由於pgd＝ega，故dba＝ega，
所以dba＋bad＝ega＋bad，
從而bda＝pfa.
因為afep，所以pfa＝90°，
所以bda＝90°，故ab為圓的直徑．
(2)連線bc，dc.
由於ab是直徑，故bda＝acb＝90°.
在rt△bda與rt△acb中，ab＝ba，ac＝bd，從而rt△bda≌rt△acb，所以dab＝∠cba.
又因為dcb＝dab，所以dcb＝cba，故dc∥ab.
因為abep，所以dcep，dce為直角．
所以ed為直徑．又由(1)知ab為圓的直徑，所以ed＝ab.
4、22．[2014·新課標全國卷ò] 選修41：幾何證明選講
如圖15，p是o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與o相交於點b，c，pc＝2pa，d為pc的中點，ad的延長線交o於點e.證明：
(1)be＝ec；
(2)ad·de＝2pb2.
圖1522．證明：(1)連線ab，ac.由題設知pa＝pd，
故pad＝pda.
因為pda＝dac＋dca，
∠pad＝bad＋pab，
∠dca＝pab，
所以dac＝bad，從而be＝ec.
因此be＝ec.
(2)由切割線定理得pa2＝pb·pc.
因為pa＝pd＝dc，所以dc＝2pb，bd＝pb.
由相交弦定理得ad·de＝bd·dc，
所以ad·de＝2pb2.
5、22．[2014·全國新課標卷] 選修4－1：幾何證明選講
如圖15，四邊形abcd是o的內接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交於點e，且cb＝ce.
圖15(1)證明：d＝e；
(2)設ad不是o的直徑，ad的中點為m，且mb＝mc，證明：÷ade為等邊三角形．
22．證明：(1)由題設知a，b，c，d四點共圓，
所以d＝cbe.
由已知得cbe＝e，故d＝e.
(2)設bc的中點為n，連線mn，則由mb＝mc知mnbc，故點o在直線mn上．
又ad不是o的直徑，m為ad的中點，
故omad，即mnad，
所以adbc，故a＝cbe.
又cbe＝e，故a＝e.
由(1)知，d＝e，所以÷ade為等邊三角形．
6、15． [2014·陝西卷]
b.(幾何證明選做題)如圖13所示，÷abc中，bc＝6，以bc為直徑的半圓分別交ab，ac於點e，f，若ac＝2ae，則ef
圖1315． 3
7、7．[2014·天津卷] 如圖11所示，÷abc是圓的內接三角形，bac的平分線交圓於點d，交bc於點e，過點b的圓的切線與ad的延長線交於點f.在上述條件下，給出下列四個結論：bd平分cbf；fb2＝fd·fa；ae·ce＝be·de；af·bd＝ab·bf.
則所有正確結論的序號是( )
a．①② b．③④
c． d．①②④7．d
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