直接證明與間接證明
1.分析法是從要證的結論出發,尋求使它成立的條件.
答案充分
2.若a＞b＞0,則a+ b+.(用填空)
答案 ＞
3.要證明+＜2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是填序號）.
①反證法 ②分析法 ③綜合法
答案 ②
4.用反證法證明命題：若整係數一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理數根，那麼a、b、c中至少有乙個是偶數時，下列假設中正確的是 .
①假設a、b、c都是偶數
②假設a、b、c都不是偶數
③假設a、b、c至多有乙個偶數
④假設a、b、c至多有兩個偶數
答案 ②
5.設a、b、c∈（0，+∞），p=a+b-c，q=b+c-a，r=c+a-b，則「pqr＞0」是「p、q、r同時大於零」的條件.
答案充要
例1 設a,b,c＞0,證明：≥a+b+c.
證明 ∵a,b,c＞0，根據基本不等式，
有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.
三式相加：+++a+b+c≥2(a+b+c).
即++≥a+b+c.
例2 （14分）已知a＞0,求證： -≥a+-2.
證明要證-≥a+-2,
只要證+2≥a2分
∵a＞0,故只要證≥（a++）26分
即a2++4+4
≥a2+2++2+28分
從而只要證210分
只要證4≥2（a2+2+）,即a2+≥2,而該不等式顯然成立，
故原不等式成立14分
例3 若x,y都是正實數，且x+y＞2,
求證：＜2與＜2中至少有乙個成立.
證明假設＜2和＜2都不成立，
則有≥2和≥2同時成立，
因為x＞0且y＞0,
所以1+x≥2y，且1+y≥2x，
兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，
因此＜2與＜2中至少有乙個成立.
1.已知a,b,c為互不相等的非負數.
求證：a2+b2+c2＞(++).
證明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.
又∵a,b,c為互不相等的非負數，
∴上面三個式子中都不能取「=」，
∴a2+b2+c2＞ab+bc+ac,
∵ab+bc≥2,bc+ac≥2,
ab+ac≥2,
又a,b,c為互不相等的非負數，
∴ab+bc+ac＞(++),
∴a2+b2+c2＞(++).
2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,試用分析法證明不等式≥.
證明要證≥,
只需證ab+≥，
只需證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,
只需證4(ab)2+8ab-25ab+4≥0,
只需證4(ab)2-17ab+4≥0,
即證ab≥4或ab≤,只需證ab≤，
而由1=a+b≥2,∴ab≤顯然成立，
所以原不等式≥成立.
3.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大於.
證明方法一假設三式同時大於，
即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,
∵a、b、c∈(0,1),
∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.
又(1-a)a≤=,
同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,
∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,
這與假設矛盾，故原命題正確.
方法二假設三式同時大於，
∵0＜a＜1,∴1-a＞0,
≥＞=,
同理＞,＞,
三式相加得＞,這是矛盾的，故假設錯誤，
∴原命題正確.
一、填空題
1.（2008·南通模擬）用反證法證明「如果a＞b,那麼＞」假設內容應是
答案 =或＜
2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc,q=logc，則p,q的大小關係是
答案 p＜q
3.設s是至少含有兩個元素的集合.在s上定義了乙個二元運算「*」（即對任意的a,b∈s，對於有序元素對(a,b),在s中有唯一確定的元素a*b與之對應）.
若對任意的a,b∈s,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈s，下列恆成立的等式的序號是 .
①（a*b）*a=aa*(b*a)］*(a*b)=a
③b*(b*b)=ba*b)*［b*(a*b)］=b
答案 ②③④
4.如果△a1b1c1的三個內角的余弦值分別等於△a2b2c2的三個內角的正弦值，則△a1b1c1是三角形，△a2b2c2是三角形.（用「銳角」、「鈍角」或「直角」填空）
答案銳角鈍角
5.已知三稜錐s—abc的三檢視如圖所示：在原三稜錐中給出下列命題：
①bc⊥平面sac；②平面sbc⊥平面sab；③sb⊥ac.
其中正確命題的序號是 .
答案 ①
6.對於任意實數a,b定義運算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結論：
①對於任意實數a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②對於任意實數a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;
③對於任意實數a,有a*0=a,則以上結論正確的是寫出你認為正確的結論的所有序號）
答案 ②③
二、解答題
7.已知數列中，sn是它的前n項和，並且sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1.
（1）設bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求證：數列是等比數列；
（2）設cn=(n=1,2,…),求證：數列是等差數列；
（3）求數列的通項公式及前n項和公式.
（1）證明 ∵sn+1=4an+2，
∴sn+2=4an+1+2，兩式相減，得
sn+2-sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…),
即an+2=4an+1-4an,
變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)
∵bn=an+1-2an(n=1,2,…),∴bn+1=2bn.
由此可知，數列是公比為2的等比數列.
（2）證明由s2=a1+a2=4a1+2，a1=1.
得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.
∵cn=(n=1,2,…),
∴cn+1-cn=-==.
將bn=3·2n-1代入得
cn+1-cn=(n=1,2,…),
由此可知，數列是公差為的等差數列，
它的首項c1==，故cn=n-(n=1,2,…).
（3）解 ∵cn=n-=(3n-1).
∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2 (n=1,2,…)
當n≥2時，sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.
由於s1=a1=1也適合於此公式，
所以的前n項和公式為sn=（3n-4）·2n-1+2.
8.設a,b,c為任意三角形三邊長，i=a+b+c,s=ab+bc+ca,試證：i2＜4s.
證明由i2=（a+b+c）2
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+2s,
∵a,b,c為任意三角形三邊長，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)
即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0
∴a2+b2+c2＜2s
∴a2+b2+c2+2s＜4s.
∴i2＜4s.
9.已知a,b,c為正實數,a+b+c=1.
求證：（1）a2+b2+c2≥;
(2)+ +≤6.
證明 （1）方法一 a2+b2+c2-
= (3a2+3b2+3c2-1)
=［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］
=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc)
=［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≥0
∴a2+b2+c2≥.
方法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1
∴a2+b2+c2≥.
方法三設a=+,b=+,c=+.
∵a+b+c=1,∴++=0
∴a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2
=+(++)+2+2+2
=+2+2+2≥
∴a2+b2+c2≥.
(2)∵=≤=,
同理≤,≤
∴++≤=6
∴原不等式成立.
10.已知函式y=ax+(a＞1).
（1）證明：函式f(x)在（-1,+∞)上為增函式；
（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.
證明 （1）任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨設x1＜x2,則x2-x1＞0,由於a＞1,
∴a＞1且a＞0,
∴a-a=a (a-1)＞0.
又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
∴-==＞0,
於是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0,
故函式f(x)在(-1,+∞）上為增函式.
（2）方法一假設存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0,
則a=-.
∵a＞1,∴0＜a＜1,
∴0＜-＜1,即＜x0＜2，
與假設x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.
方法二假設存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0,
①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1,
∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,則＞0,a＞0,
∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，
故方程f(x)=0沒有負數根.
高考數學總複習36直接證明與間接證明練習新人教版
第三十六講直接證明與間接證明 班級 姓名 考號 日期 得分 一 選擇題 本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內 1 命題 對於任意角 cos4 sin4 cos2 的證明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 過程應...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...