第六節直接證明與間接證明
【最新考綱】 1.了解直接證明的兩種基本方法: 綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過程和特點.2.了解反證法的思考過程和特點．
1．直接證明
2.間接證明
反證法：假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最後得出矛盾．因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
1．(質疑夯基)判斷下列結論的正誤．(正確的打「√」，錯誤的打「×」)
(1)綜合法的思維過程是由因導果，逐步尋找已知的必要條件．( )
(2)分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的充要條件．( )
(3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設矛盾．( )
(4)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現解決問題的過程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．要證明＋<2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是( )
a．綜合法 b．分析法
c．反證法d．歸納法
解析：要證明＋<2成立，可採用分析法對不等式兩邊平方後再證明．
答案：b
3．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明( )
a．2ab－1－a2b2≤0 b．a2＋b2－1－≤0
c.－1－a2b2≤0 d．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.
答案：d
4．(2014·山東卷)用反證法證明命題「設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有乙個實根」時，要做的假設是( )
a．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根
b．方程x3＋ax＋b＝0至多有乙個實根
c．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根
d．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根
解析：「至少有乙個」的否定為「沒有」．
答案：a
5．已知a，b，x均為正數，且a>b，則與的大小關係是________．
解析：∵－＝>0，
∴>.
答案： >
一種關係
綜合法與分析法的關係：分析法與綜合法相輔相成，對較複雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件的關係，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用．
兩個防範
1．用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規範性，常常用「要證(欲證)…」「即要證…」「就要證…」等分析到乙個明顯成立的結論．
2．利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，並用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．
兩點注意
1．反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立．反證法的主要依據是邏輯中的排中律，排中律的一般形式是：或者是a，或者是非a.即在同一討論過程中，a和非a有且僅有乙個是正確的，不能有第三種情況出現．
2．反證法證明的關鍵：①準確反設；②從否定的結論正確推理；③得出矛盾．
一、選擇題
1．(2017·佛山質測)用反證法證明命題：若整數係數的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理實數根，那麼a，b，c中至少有乙個是偶數．下列假設中正確的是( )
a．假設a，b，c至多有乙個是偶數
b．假設a，b，c至多有兩個偶數
c．假設a，b，c都是偶數
d．假設a，b，c都不是偶數
解析：「至少有乙個」的否定為「乙個都沒有」，即假設a，b，c都不是偶數．
答案：d
2．設a＝－，b＝－，c＝－，則a、b、c的大小順序是( )
a．a>b>c b．b>c>a
c．c>a>bd．a>c>b
解析：∵a＝－＝，
b＝－＝，
c＝－＝，
又∵＋>＋>＋>0，
∴a>b>c.
答案：a
3．若a，b，c為實數，且aa．ac2ab>b2
c.解析：a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，∴a2>ab.①
第六章第六節第六節直接證明與間接證明
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第六章第六節直接證明與間接證明
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第六章第六節直接證明與間接證明
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