課時提公升作業(四十)
一、選擇題
1.在證明命題「對於任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ」的過程:「cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ」中應用了 ( )
(a)分析法
(b)綜合法
(c)分析法和綜合法綜合使用
(d)間接證法
2.要證明a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明 ( )
(a)2ab-1-a2b2≤0b)a2+b2-1-≤0
(c)-1-a2b2≤0d)(a2-1)(b2-1)≥0
3.(2013·西安模擬)若a,b∈r,ab>0,則下列不等式中恆成立的是 ( )
(a)a2+b2>2abb)a+b≥2
(c)+>d)+≥2
4.(2013·宿州模擬)用反證法證明命題「a,b∈n,如果ab可被5整除,那麼a,b至少有1個能被5整除」,則假設的內容是 ( )
(a)a,b都能被5整除
(b)a,b都不能被5整除
(c)a不能被5整除
(d)a,b有乙個不能被5整除
5.(2013·洛陽模擬)在不等邊三角形abc中,a為最大邊,要想得到a為鈍角的結論,三邊a,b,c應滿足的條件是 ( )
(a)a2(c)a2>b2+c2d)a2≤b2+c2
6.(2013·鄭州模擬)若|loga|=loga,|logba|=-logba,則a,b滿足的條件是
( )
(a)a>1,b>1b)01
(c)a>1,07.(2013·杭州模擬) 已知函式f(x)是r上的單調增函式且為奇函式，數列是等差數列，a3>0，則f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )
(a)恒為正數b)恒為負數
(c)恒為0d)可正可負
8.已知a,b,c都是負數,則三數a+,b+,c+ ( )
(a)都不大於-2b)都不小於-2
(c)至少有乙個不大於-2d)至少有乙個不小於-2
二、填空題
9.如果a+b>a+b,則a,b應滿足的條件是 .
10.(2013·九江模擬)完成反證法證題的全過程.
已知:a1,a2,…,a7是1,2,…,7的乙個排列.
求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)為偶數.
證明:假設p為奇數,則均為奇數,因為奇數個奇數之和為奇數,故有奇數0,得出矛盾,所以p為偶數.
11.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈n+(m,n∈n+),且對任意的m,n∈n+都有:
(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.
(2)f(m+1,1)=2f(m,1).
給出以下三個結論:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;
③f(5,6)=26.其中正確結論的序號有 .
三、解答題
12.(2013·安慶模擬)若x,y都是實數,且x+y>2.求證:<2與<2中至少有乙個成立.
13.(2012·福建高考)某同學在一次研究性學習中發現,以下五個式子的值都等於同乙個常數.
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°.
(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°.
(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°.
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°.
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
①試從上述五個式子中選擇乙個,求出這個常數.
②根據①的計算結果,將該同學的發現推廣為三角恒等式,並證明你的結論.
14.(1)求證：當a>1時，不等式a3+>a2+成立.
(2)要使上述不等式成立，能否將條件「a>1」適當放寬？若能，請放寬條件，並簡述理由；若不能，也請說明理由.
(3)請你根據(1)(2)的結果，寫出乙個更為一般的結論，且予以證明.
答案解析
1.【解析】選b.從已知條件出發,推出要證的結論,滿足綜合法.
2.【解析】選d.a2+b2-1-a2b2≤0
(a2-1)(b2-1)≥0.
3.【解析】選d.a中a2+b2≥2ab,b,c中,若a<0,b<0時不成立.
4.【解析】選b.該命題意思是說「a,b有能被5整除的」,所以反設應是「a,b都不能被5整除」.
5.【解析】選c.當a為鈍角時,cosa<0,
因此<0,於是a2>b2+c2.
6.【思路點撥】先利用|m|=m,則m≥0,|m|=-m,則m≤0,將條件進行化簡,然後利用對數函式的單調性即可求出a和b的範圍.
【解析】選b.∵|loga|=loga,
∴loga≥0=loga1,根據對數函式的單調性可知0∵|logba|=-logba,
∴logba≤0=logb1,但b≠1,所以根據對數函式的單調性可知b>1.
7.【思路點撥】利用奇函式的性質f(0)=0以及等差數列的性質a1+a5=2a3，關鍵判斷f(a1)+f(a5)>0.
【解析】選a.由於f(x)是r上的單調增函式且為奇函式，且a3>0，所以f(a3)>f(0)=0.
而a1+a5=2a3，所以a1+a5>0，則a1>-a5，
於是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),
因此f(a1)+f(a5)>0,
所以有f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.
8.【解析】選c.假設三個數都大於-2,
即a+>-2,b+>-2,c+>-2,則得到
(a+)+(b+)+(c+)>-6.
而a,b,c都是負數,
所以(a+)+(b+)+(c+)
=(a+)+(b+)+(c+)
≤-2-2-
2=-6,
這與(a+)+(b+)+(c+)>-6矛盾,因此三個數中至少有乙個不大於-2.
【變式備選】設實數a,b,c滿足a+b+c=1,則實數a,b,c中至少有乙個不小於 .
【解析】假設a,b,c都小於,即a<,b<,c<,
則a+b+c<1,這與a+b+c=1矛盾,因此實數a,b,c中至少有乙個不小於.
答案：9.【解析】a+b>a+b
(-)2(+)>0a≥0,b≥0,且a≠b.
答案：a≥0,b≥0且a≠b
10.【解析】第乙個空應填:a1-1,a2-2,…,a7-7.
第二個空應填:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7).
第三個空應填:(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7).
答案：a1-1,a2-2,…,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
11.【解析】在(1)式中令m=1可得
f(1,n+1)=f(1,n)+2,
則f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;
在(2)式中,由f(m+1,1)=2f(m,1)得,
f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,
從而f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正確.
答案：①②③
12.【證明】假設<2與<2均不成立,
則≥2且≥2,
∴1+x≥2y且1+y≥2x,
∴2+x+y≥2x+2y,
∴x+y≤2,與已知x+y>2矛盾,
∴<2與<2中至少有乙個成立.
13.【解析】①選擇(2)式計算如下sin215°+cos215°-
sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.
②三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
證明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-
sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
14. 【解析】(1)a3+-a2-= (a-1)(a5-1)，因為a>1，所以(a-1)(a5-1)>0，故原不等式成立.
(2)能將條件「a＞1」適當放寬.理由如下：由於a-1與a5-1對於任意的a>0且a≠1都保持同號，所以上述不等式對任何a>0且a≠1都成立，故條件可以放寬為a>0且a≠1.
(3)根據(1)(2)的證明，可推知：
若a>0且a≠1，m>n>0，
則有am+>an+.
證明如下：
am-an+-=an(am-n-1)- (am-n-1)
= (am-n-1)(am+n-1),
若a>1，則由m>n>0得am-n-1>0,am+n-1>0，知不等式成立；
若0n>0得am-n-1<0,am+n-1<0，知不等式成立.
第六章第六節直接證明與間接證明
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第六章第六節直接證明與間接證明
一 選擇題 1 2012 張家口模擬 分析法又稱執果索因法，若用分析法證明 設a b c，且a b c 0，求證a a b 0b a c 0 c a b a c 0d a b a c 0 解析 a c 2 ac 3a2 a2 2ac c2 ac 3a2 0 2a2 ac c2 0 2a2 ac c2...
第六章第六節證明
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