1.對於平面α和共面的直線m、n,下列命題中真命題是
a.若m⊥α,m⊥n,則n∥α
b.若m∥α,n∥α,則m∥n
c.若m α,n∥α,則m∥n
d.若m、n與α所成的角相等,則m∥n
解析:對於平面α和共面的直線m、n,真命題是「若m α,n∥α,則m∥n」.
答案:c
2.已知函式f(x)=()x,a,b∈r+,a=f(),b=f(),c=f(),則a、b、c的大小關係為
a.a≤b≤cb.a≤c≤b
c.b≤c≤ad.c≤b≤a
解析:≥≥,又f(x)=()x在r上是單調減函式,∴f()≤f()≤f().
答案:a
3.函式y=f(x)在(0,2)上是增函式,函式y=f(x+2)是偶數,則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關係是
a.f(2.5)f(1)>f(3.5)
c.f(3.5)>f(2.5)>f(1d.f(1)>f(3.5)>f(2.5)
解析:因為函式y=f(x)在(0,2)上是增函式,函式y=f(x+2)是偶函式,所以x=2是對稱軸,在(2,4)上為減函式,由圖象知f(2.5)>f(1)>f(3.5).
答案:b
4.在△abc中,三個內角a、b、c的對邊分別為a、b、c,若+=,試問a、b、c是否成等差數列,若不成等差數列,請說明理由.若成等差數列,請給出證明.
證明:a、b、c成等差數列,下面用綜合法給出證明:
∵+=,
∴+=3,
∴+=1,
∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
∴b2=a2+c2-ac.
在△abc中,由餘弦定理,得
cosb===,
∵0°<b<180° ∴b=60°.
∴a+c=2b=120°,
∴a、b、c成等差數列.
5.若p=+,q=+(a≥0),則p、q的大小關係是
a.p>q b.p=q c.p<q d.由a的取值確定
解析:∵要證p<q,只要證p2<q2,
只要證:2a+7+2<2a+7+2,
只要證:a2+7a<a2+7a+12,
只要證:0<12,
∵0<12成立,∴p<q成立.
答案:c
6..設a,b均為正數,且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2.
證明:法一:(分析法)
要證a3+b3>a2b+ab2成立,
只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因為a+b>0,
只需證a2-ab+b2>ab成立.
又需證a2-2ab+b2>0成立,
即需證(a-b)2>0成立.
而依題設a≠b,則(a-b)2>0顯然成立,由此命題得證.
法二:(綜合法)
a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0
a2-ab+b2>ab. (*)
而a,b均為正數,∴a+b>0,
由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
∴a3+b3>a2b+ab2.
7.用反證法證明:若整係數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數根,那麼a、b、c中至少有乙個偶數時,下列假設正確的是
a.假設a、b、c都是偶數
b.假設a、b、c都不是偶數
c.假設a、b、c至多有乙個偶數
d.假設a、b、c至多有兩個偶數
解析:「至少有乙個」的否定「都不是」.
答案:b
8.設a,b,c∈(-∞,0),則a+,b+,c
a.都不大於-2
b.都不小於-2
c.至少有乙個不大於-2
d.至少有乙個不小於-2
解析:假設a+,b+,c+都小於或等於-2,
即a+≤-2,b+≤-2,c+≤-2,
將三式相加,得a++b++c+≤-6,
又因為a+≤-2,b+≤-2,c+≤-2,
三式相加,得a++b++c+≤-6,
所以a++b++c+≤-6成立.
答案:c
9.某同學準備用反證法證明如下乙個問題:函式f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),如果對於不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證:|f(x1)-f(x2)|<.
那麼他的反設應該是________.
解析:該命題為全稱命題,其否定為特稱命題.
答案:「存在x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥」
10.已知a,b,c是互不相等的實數.
求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點.
證明:假設題設中的函式確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點),
由y=ax2+2bx+c,
y=bx2+2cx+a,
y=cx2+2ax+b,
得δ1=(2b)2-4ac≤0,
δ2=(2c)2-4ab≤0,
δ3=(2a)2-4bc≤0.
上述三個同向不等式相加得,
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
∴a=b=c,這與題設a,b,c互不相等矛盾,
因此假設不成立,從而命題得證.
11.設a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,則有
a.ad=bcb.adc.ad>bcd.ad≤bc
解析:|a-d|<|b-c|(a-d)2<(b-c)2a2+d2-2adbc.
答案:c
12.已知a,b,μ∈(0,+∞)且+=1,則使得a+b≥μ恆成立的μ的取值範圍是________.
解析:∵a,b∈(0,+∞)且+=1,
∴a+b=(a+b)(+)=10+(+)≥10+2=16,∴a+b的最小值為16.
∴要使a+b≥μ恆成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.
答案:(0,16]
第六章第六節第六節直接證明與間接證明
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第六章第六節直接證明與間接證明
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