熱點專題六圖形與證明學科網
【考點聚焦】學科網
圖形與證明是空間與圖形的核心內容之一，它貫穿在整個幾何知識的學習及運用之中．學科網
內容主要有：了解定義、命題、定理、互逆命題、反證法的含義；掌握平行線的性質定理和判定定理、全等三角形的性質定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的內角和定理和推論、角平分線和垂直平分線性質定理及逆定理、三角形中位線定理；掌握等腰三角形、等邊三角形、直角三角形性質與判定定理；掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理．學科網
【熱點透視】學科網
熱點1：把握三角形全等的性質，考查線段相等的證明．學科網
例1 （2008郴州）如圖１，菱形中，分別為、上的點，且．求證：．學科網
分析：本題中靈活運用菱形的性質：四邊相等，兩組對角分別相等．找到全等三角形的對應元素是解本題的關鍵．學科網
證明：∵四邊形是菱形，學科網
∴，．學科網
∵，∴．學科網
在與中，，，．學科網
∴，∴．學科網
點評：掌握全等三角形的概念和性質，還要能準確辨認全等三角形中的對應元素，通過證明全等來證明線段相等或者角相等．學科網
熱點2：緊扣三角形全等的判定，考查三角形全等的開放型問題．學科網
例2 （2008湘潭）如圖2，在正五邊形中，鏈結對角線、和，交於．學科網
（1）請列出圖中兩對全等三角形不另外新增輔助線）；學科網
（2）請選擇所列舉的一對全等三角形加以證明．學科網
分析：由正多邊形的性質可知：正多邊形的各邊相等，各角相等．這是一類結論不惟一的試題．解決此類問題的關鍵是依據圖形，通過準確辨認全等三角形的對應元素，證明三角形全等．學科網
解：（1）△abc≌△aed，△abc≌△edc；學科網
（2）證明：在正五邊形abcde中，，學科網
∠eab=∠b=∠bcd=∠cde=∠dea，學科網
故在△abc與△aed中，ab=ae，∠b=∠dea，bc=de，∴△abc≌△aed，學科網
在△abc與△edc中，ab=ed，∠b=∠cde，bc=dc，∴△abc≌△edc．學科網
點評：本考題題幹簡單清晰，但考點的內容與正多邊形的知識相結合，需要具有分解基本圖形的能力和基本的**能力，才能順利解題．學科網
熱點3：合理新增輔助線，構造全等三角形解決相關問題．學科網
例3 （2008常德）如圖3，已知，學科網
（1）若，求證：；學科網
（2）若（m為正數），試猜想ge與gd有何關係（只寫結論，不證明）．學科網
學科網 分析：證明在不同三角形中的兩條線段和兩個角相等的常用方法就是證明兩個三角形全等，要證明線段ge和gd相等，在辨認三角形全等對應元素時，發現圖中沒有三角形全等，需要通過合理新增輔助線構造三角形全等．學科網
（1）證明：過d作df∥ce，交bc於f，學科網
∠e=∠gdf，學科網
∵ab=ac，df∥ce，學科網
∴∠dfb=∠acb=∠abc，學科網
∴df=db=ec．學科網
又∠dgf=∠egc，∴△gdf≌△gec．學科網
∴ge=gd．學科網
（2）．學科網
點評：在證明三角形全等時，可以通過翻摺法、旋轉法、平移法找到對應元素，或者合理新增輔助線構造全等三角形的對應元素．學科網
學科網 熱點4：定義、命題、定理、互逆命題的考查．學科網
例4 （2008永州）下列命題是假命題的是（ ）學科網
（ａ）四個角相等的四邊形是矩形學科網
（ｂ）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形學科網
（ｃ）四條邊相等的四邊形是菱形學科網
（ｄ）對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形學科網
分析：掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解決本題的關鍵．學科網
解：選（d）．學科網
點評：本題考查同學們對平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定方法的把握，遇到這種題，同學們可利用數形結合的思想將其中的文字語言轉化為圖形語言，便能迅速作出準確判斷．學科網
熱點5：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質與判定的考查．學科網
例5 （2008婁底）如圖5，已知點在的邊上，交於，交於．學科網
（1）求證：；學科網
（2）若平分，試判斷四邊形的形狀，並說明理由．學科網
分析：本題主要考查同學們對平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定方法的把握．學科網
證明：（1）∵，學科網
∴，同理．學科網
∵，學科網
∴，∴．學科網
（2）若平分，四邊形是菱形．學科網
證明：∵，，學科網
∴四邊形是平行四邊形，學科網
∵，∴，學科網
∴平行四邊形為菱形．學科網
點評：三角形全等及平行四邊形的性質都可以證明兩線段相等，此類題起點低，注重基礎知識及基本技能的考查，考查了同學們最基本的幾何推理證明能力．學科網
熱點6：圓的有關概念及性質的考查學科網
例6 （2008益陽）如圖6，是的直徑，是上一點，過圓心作，為垂足，是上一點，是的中點，的延長線交於．學科網
（1）圖中線段、所在直線有怎樣的位置關係？寫出你的結論，並給出證明過程；學科網
（2）猜想線段三者之間有怎樣的數量關係？學科網
寫出你的結論，並給出證明過程．學科網
分析：平面內兩直線的位置關係只有平行和相交兩種，先通過觀察圖形可猜想od∥bc，再利用圓的有關概念及性質得證．學科網
解：（1）結論：．學科網
證明：∵是的直徑，是上一點，學科網
∴，即bc⊥ac．學科網
又od⊥ac，∴od∥bc．學科網
（2）結論：．學科網
證明：∵od⊥ac，∴ad=dc．學科網
又o為ab的中點，∴od是△abc的中位線．學科網
∴bc=2od．學科網
在△odg與△efg中，學科網
∵dg=eg，∠god=∠gfe，∠odg=∠feg，學科網
∴．∴od=ef．學科網
∴．學科網
∴．學科網
點評：為了使同學們對推理論證的必要性有更深刻的理解，新課程中的邏輯推理常在**、猜想的前提下進行．本題就採用了這種方式．該題主要考查了直徑與圓周角、垂直於弦的直徑等概念之間的聯絡．學科網
【考題**】學科網
１．下列命題中真命題的個數是（ ）學科網
①兩個相似多邊形面積之比等於相似比的平方；學科網
②兩個相似三角形的對應高之比等於它們的相似比；學科網
③在與中，，，那麼；學科網
④已知及位似中心，能夠作乙個且只能作乙個三角形，使位似比為0.5．學科網
（ａ）1個 （ｂ）2個 （ｃ）3個 （ｄ）4個學科網
2．已知如圖7，在四邊形abcd中，對角線ac，bd交於點e，且ac平分∠dab，ab=ae，ac=ad．下四個結論：①ac⊥bd；②cb=de；③；④△abe是等邊三角形．請寫出正確的結論序號把你認為正確的結論序號填上，並證明其中乙個）．學科網
3．如圖8，菱形abcd中，e、f分別為cb、cd延長線上的點，且．求證：．學科網
學科網4．如圖9，在rt△abc中，，，de垂直平分bc，垂足為d，交ab於點e．又點f在de的延長線上，且．求證：四邊形acef是菱形．
學科網5．如圖10，d是邊ab上一點，de交ac於點e，，．學科網
求證：．學科網
學科網 6．如圖11，已知ac切於a，順次交於兩點，，，鏈結ad，ab．學科網
（1）求證：；
（2）求線段dc的長．
7．如圖12，是的內接三角形，，為中上一點，延長至點，使．
（1）求證：；
（2）若，求證：．
（1）求證：點f是bd中點；
（2）求證：cg是的切線；
（3）若，求的半徑．
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