2023年中考數學專題講座二：新概念型問題
一、中考專題詮釋
所謂「新概念」型問題，主要是指在問題中概念了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意並結合已有知識、能力進行理解，根據新概念進行運算、推理、遷移的一種題型.「新概念」型問題成為近年來中考數學壓軸題的新亮點.在複習中應重視學生應用新的知識解決問題的能力
二、解題策略和解法精講
「新概念型專題」關鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移．
三、中考典例剖析
考點一：規律題型中的新概念
例1 （2012永州）我們把按照一定順序排列的一列數稱為數列，如1，3，9，19，33，…就是乙個數列，如果乙個數列從第二個數起，每乙個數與它前乙個數的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做這個等差數列的公差．如2，4，6，8，10就是乙個等差數列，它的公差為2．如果乙個數列的後乙個數與前乙個數的差組成的新數列是等差數列，則稱這個數列為二階等差數列．例如數列1，3，9，19，33，…，它的後乙個數與前乙個數的差組成的新數列是2，6，10，14，…，這是乙個公差為4的等差數列，所以，數列1，3，9，19，33，…是乙個二階等差數列．那麼，請問二階等差數列1，3，7，13，…的第五個數應是21
．對應訓練
1．（2012自貢）若x是不等於1的實數，我們把稱為x的差倒數，如2的差倒數是=-1，-1的差倒數為=，現已知x1=-，x2是x1的差倒數，x3是x2的差倒數，x4是x3的差倒數，…，依次類推，則x2012
考點二：運算題型中的新概念
例2 （2012菏澤）將4個數a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，概念=ad-bc，上述記號就叫做2階行列式．若=8，則x2
．對應訓練
2．（2012株洲）若（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，則（4，5）（6，8）= ．
考點三：探索題型中的新概念
例3 （2012南京）如圖，a、b是⊙o上的兩個定點，p是⊙o上的動點（p不與a、b重合）、我們稱∠apb是⊙o上關於點a、b的滑動角．
（1）已知∠apb是⊙o上關於點a、b的滑動角，
①若ab是⊙o的直徑，則∠apb
②若⊙o的半徑是1，ab=，求∠apb的度數；
（2）已知o2是⊙o1外一點，以o2為圓心作乙個圓與⊙o1相交於a、b兩點，∠apb是⊙o1上關於點a、b的滑動角，直線pa、pb分別交⊙o2於m、n（點m與點a、點n與點b均不重合），連線an，試探索∠apb與∠man、∠anb之間的數量關係．
對應訓練
3．（2012陝西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那麼以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的「拋物線三角形」．
（1）「拋物線三角形」一定是等腰
三角形；
（2）若拋物線y=-x2+bx（b＞0）的「拋物線三角形」是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△oab是拋物線y=-x2+b′x（b′＞0）的「拋物線三角形」，是否存在以原點o為對稱中心的矩形abcd？若存在，求出過o、c、d三點的拋物線的表示式；若不存在，說明理由．
考點四：開放題型中的新概念
例4 （2012北京）在平面直角座標系xoy中，對於任意兩點p1（x1，y1）與p2（x2，y2）的「非常距離」，給出如下概念：
若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點p1與點p2的「非常距離」為|x1-x2|；
若|x1-x2|＜|y1-y2|，則點p1與點p2的「非常距離」為|y1-y2|．
例如：點p1（1，2），點p2（3，5），因為|1-3|＜|2-5|，所以點p1與點p2的「非常距離」為|2-5|=3，也就是圖1中線段p1q與線段p2q長度的較大值（點q為垂直於y軸的直線p1q與垂直於x軸的直線p2q交點）．
（1）已知點a（-，0），b為y軸上的乙個動點，
①若點a與點b的「非常距離」為2，寫出乙個滿足條件的點b的座標；
②直接寫出點a與點b的「非常距離」的最小值；
對應訓練
4．（2012台州）請你規定一種適合任意非零實數a，b的新運算「a⊕b」，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=-，（-3）⊕5=5⊕（-3）=-，…
你規定的新運算a⊕b用a，b的乙個代數式表示）．
考點五：閱讀材料題型中的新概念
例5 （2012常州）平面上有兩條直線ab、cd相交於點o，且∠bod=150°（如圖），現按如下要求規定此平面上點的「距離座標」：
（1）點o的「距離座標」為（0，0）；
（2）在直線cd上，且到直線ab的距離為p（p＞0）的點的「距離座標」為（p，0）；在直線ab上，且到直線cd的距離為q（q＞0）的點的「距離座標」為（0，q）；
（3）到直線ab、cd的距離分別為p，q（p＞0，q＞0）的點的「距離座標」為（p，q）．
設m為此平面上的點，其「距離座標」為（m，n），根據上述對點的「距離座標」的規定，解決下列問題：
（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：
①滿足m=1，且n=0的點m的集合；
②滿足m=n的點m的集合；
（2）若點m在過點o且與直線cd垂直的直線l上，求m與n所滿足的關係式．（說明：圖中oi長為乙個單位長）
思路分析：（1）①以o為圓心，以2為半徑作圓，交cd於兩點，則此兩點為所求；②分別作∠boc和∠bod的角平分線並且反向延長，即可求出答案；
（2）過m作mn⊥ab於n，根據已知得出om=n，mn=m，求出∠nom=60°，根據銳角三角函式得出sin60°==，求出即可．
四、中考真題演練
一、選擇題
1．（2012六盤水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．則g[f（-5，6）]等於（ ）
a．（-6，5） b．（-5，-6） c．（6，-5） d．（-5，6）
2． （2012湘潭）文文設計了乙個關於實數運算的程式，按此程式，輸入乙個數後，輸出的數比輸入的數的平方小1，若輸入，則輸出的結果為（ ）
a．5 b．6 c．7 d．8
點評：本題考查的是實數的運算，根據題意得出輸出數的式子是解答此題的關鍵．
3． （2012麗水）小明用棋子擺放圖形來研究數的規律．圖1中棋子圍城三角形，其棵數3，6，9，12，…稱為三角形數．類似地，圖2中的4，8，12，16，…稱為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是（ ）
a．2010 b．2012 c．2014 d．2016
二、填空題
4．（2012常德）規定用符號[m]表示乙個實數m的整數部分，例如：=0，[3.14]=3．按此規定的值為 ．
5．（2012隨州）概念：平面內的直線與相交於點o，對於該平面內任意一點m，點m到直線、的距離分別為a、b，則稱有序非實數對（a，b）是點m的「距離座標」，根據上述概念，距離座標為（2，3）的點的個數是（ ）
a．2 b．1 c．4 d．3
6．（2012荊門）新概念：[a，b]為一次函式y=ax+b（a≠0，a，b為實數）的「關聯數」．若「關聯數」[1，m-2]的一次函式是正比例函式，則關於x的方程+=1的解為x=3
．7．（2012自貢）如圖，△abc是正三角形，曲線cdef叫做正三角形的漸開線，其中弧cd、弧de、弧ef的圓心依次是a、b、c，如果ab=1，那麼曲線cdef的長是4π
．8． （2012泉州）在△abc中，p是ab上的動點（p異於a、b），過點p的直線截△abc，使截得的三角形與△abc相似，我們不妨稱這種直線為過點p的△abc的相似線，簡記為p（lx）（x為自然數）．
（1）如圖①，∠a=90°，∠b=∠c，當bp=2pa時，p（l1）、p（l2）都是過點p的△abc的相似線（其中l1⊥bc，l2∥ac），此外，還有1
條；（2）如圖②，∠c=90°，∠b=30°，當時，p（lx）截得的三角形面積為△abc面積的．
三、解答題
9．（2012銅仁地區）如圖，概念：在直角三角形abc中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的餘切，記作ctanα，即ctanα= =，根據上述角的餘切概念，解下列問題：
（1）ctan30
（2）如圖，已知tana=，其中∠a為銳角，試求ctana的值．
10．（2012無錫）對於平面直角座標系中的任意兩點p1（x1，y1），p2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做p1、p2兩點間的直角距離，記作d（p1，p2）．
（1）已知o為座標原點，動點p（x，y）滿足d（o，p）=1，請寫出x與y之間滿足的關係式，並在所給的直角座標系中畫出所有符合條件的點p所組成的圖形；
（2）設p0（x0，y0）是一定點，q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（p0，q）的最小值叫做p0到直線y=ax+b的直角距離．試求點m（2，1）到直線y=x+2的直角距離．
11．（2012廈門）如圖，在平面直角座標系中，已知點a（2，3）、b（6，3），連線ab．如果點p在直線y=x-1上，且點p到直線ab的距離小於1，那麼稱點p是線段ab的「臨近點」．
（1）判斷點c（）是否是線段ab的「臨近點」，並說明理由；
（2）若點q（m，n）是線段ab的「臨近點」，求m的取值範圍．
12．（2012蘭州）如圖，概念：若雙曲線y=（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交於a、b兩點，則線段ab的長度為雙曲線y=（k＞0）的對徑．
（1）求雙曲線y=的對徑．
（2）若雙曲線y=（k＞0）的對徑是10，求k的值．
（3）仿照上述概念，概念雙曲線y=（k＜0）的對徑．
13．（2012紹興）聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．
概念：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
舉例：如圖1，若pa=pb，則點p為△abc的準外心．
應用：如圖2，cd為等邊三角形abc的高，準外心p在高cd上，且pd=ab，求∠apb的度數．
**：已知△abc為直角三角形，斜邊bc=5，ab=3，準外心p在ac邊上，試**pa的長．
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