在數學中，當被研究的問題存在多種情況，不能一概而論時，就需要按照可能出現的各種情況分類討論，從而得出各種情況下的結論，這種處理問題的思維方法叫分類討論思想，它不僅是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略．在研究問題時，要認真審題，思考全面，根據其數量差異或位置差異進行分類，注意分類應不重不漏，從而得到完美答案.
一、分類討論應遵循的原則： 1、分類應按同一標準進行； 2、分類討論應逐級進行； 3、分類應當不重複，不遺漏。
二、分類討論的主要因素：1、題設本身為分類定義；2、部分性質、公式在不同條件下有不同的結論；3、部分定義、定理、公式和法則本身有範圍或條件限制；4、題目的條件或結論不唯一時；5、含引數（字母係數）時，須根據引數（字母係數）的不同取值範圍進行討論；6、推理過程中，未知量的值，圖形的位置或形狀不確定。
三、分類類討論的步驟：1、確定分類物件；2、進行合理分類；3、逐類討論，分級進行；4、歸納並作出結論。
四、分類討論的幾種型別：
型別一、與數與式有關的分類討論
熱點1.在實數中帶有絕對值號，二次根式的化簡中，應注意討論絕對值號內的數、被開方數中的字母的正負性，在保證各式有意義的前提下進行化簡求解。
例1.。
分析：因，故原題可轉化為絕對值的問題進行討論。
解：∵；∴x5；∴x= ，
故應填小結:二次根式的化簡往往可轉化為與絕對值相關的問題。而去絕對值時一般要根據絕對值的概念進行分類討論。
【練習】 1. 化簡：①︱x
2. 已知│x│= 4,│y│=，且xy<0，則= ．
【點評】由xy<0知x，y異與應分x>0，y<0，及x<0，y>0兩類．
3．若a．5或－1 b．－5或1; c．5或1d．－5或－1
4．在數軸上，到－2的點的距離為3的點表示的數是
熱點2：與函式及圖象有關的分類討論
一次函式的增減性(k有正負之分)：
【例1】已知直線y＝kx＋3與座標軸圍成的三角形的面積為2，則k的值等於
【例2】若一次函式當自變數x的取值範圍是-1≤x≤3時，函式y的範圍為-2≤y≤6，則此函式的解析式為
熱點3：不等式中的分類討論
在根據不等式的基本性質解不等式時，當遇到含字母係數的一元一次不等式時，要根據係數的正負性，決定不等號的方向變化，此時需要討論其正負性；在分式的值大於零或小於零時計算分式中某字母的取值範圍，也要討論分子分母的正負性，以此建立不等式或不等式組求解．
【例1】不等式mx>n(m、n是常數且m≠0)的解是
思路分析：x前的係數m的正負性不確定，故要對其討論，再依據不等式基本性質求x的取值．
【例2】已知分式的值為負數，則x的取值範圍是
思路分析：欲求x的取值範圍，需要建立關於x的不等式(組)，由「兩數相除，異號得負」知4－x與2x－3異號，因此得或.分別解這兩個不等式組即可．
【練習】1．關於x的一元一次不等式(2m＋3)x>2m＋3的解是
解析：分2m＋3>0和2m＋3<0兩種情況討論．
2．若分式的值大於零，則x的取值範圍是
3.解不等式 (a+1)x＞a2-1.
熱點4：涉及問題中待定引數的變化範圍的分類討論。
【例1】？
分析：方程有實數根，即方程有兩個或乙個實數根，相應的方程為一元二次方程或一元一次方程，所以對未知數最高次項的係數要分類討論。
解：此方程為一元一次方程
方法小結：方程中最高次項的係數是含字母的不確定代數式，決定了它的取值的多種可能性，不能看到項就簡單地認為是一元二次方程。
型別二：三角形中的分類討論。
熱點3. 與等腰三角形有關的分類討論：在等腰三角形中，無論邊還是頂角、底角不確定的情況下，要分情況求解，有時要分鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形分別討論解決．
（1）與角有關的分類討論
【例1】已知等腰三角形的乙個內角為75°，則其頂角為
【思路點撥】對於乙個等腰三角形，若條件中並沒有確定頂角或底角時，應注意分情況討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再運用三角形內角和定理求解.
（2）與邊有關的分類討論
【例2】已知等腰三角形的一邊等於5，另一邊等於6，則它的周長等於
【思路點撥】對於底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪是腰時，應在符合三角形三邊關係的前提下分類討論.
（3）與高有關的分類討論
【例3】一等腰三角形的一腰上的高與另一腰成35°，則此等腰三角形的頂角是度.
【思路點撥】因不知此等腰三角形的頂角是鈍角、直角、銳角，應分情況討論.
解：（1）當頂角為銳角時，（如圖1）則頂角為90°－35°＝55°.（2）當頂角為直角時，不符合題意（如圖2），應捨去.
（3）當頂角為鈍角時（如圖3），頂角為180°－（90°－35°）＝125°。故此等腰三角形的頂角為 。
【例4】若等腰三角形一腰上的高等於腰長的一半，則這個等腰三角形的底角為( )
a．75°或15b．36°或60°
c．75d．30°
思路分析：由於不確定等腰三角形的頂角是銳角還是鈍角，三角形的腰上的高在該三角形內或外，因此應分兩種情況討論，先畫出草圖如圖2－1所示：
熱點4. 與直角三角形有關的分類討論：在直角三角形中，如果沒有指明哪條邊是直角邊、斜邊，這需要根據實際情況討論；當然，在不知哪個角是直角時，有關角的問題也需要先討論後求解．
【例1】已知直角三角形的兩條邊長分別為6和8,那麼斜邊上的高為
【練習】
1．三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程x2-16x+60=0的乙個實數根，則該三角形的面積是（ ）
a．24 b．24或8 c．48 d．8
2．若直角三角形abc的三邊長分別為4,2，m，則m的取值為
熱點5.與相似三角形有關的分類討論
（1）對應邊不確定
【例1】如圖，已知矩形abcd的邊長ab=3cm,bc=6cm.．某一時刻，動點m從a點出發沿ab方向以1cm／s的速度向b點勻速運動；同時，動點從d點出發沿da方向以2cm／s的速度向a點勻速運動，問：是否存在時刻t，使以a,m,n為頂點的三角形與δacd相似？
若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】經過秒時，以為頂點的三角形與相似
（2）對應角不確定
【例2】 如圖1，∠a=500，∠b=600，一直線l與△abc的邊ac、ab邊相交於點d、e兩點，當∠ade為度時，△abc與△ade相似.
【思路點撥】顯然∠c=700，∠a是△abc和△ade的公共角，如果∠ade等於∠c或∠b，那麼△abc與△ade相似.
解：（1）當∠ade=∠c=700時，△abc∽△aed.（2）當∠ade=∠b=600時，△abc∽△ade.所以當∠ade等於時，△abc與△ade相似.
【例3】如圖2－2，在△abc中，ab＝8，ac＝6，d為ac上一點且ad＝2，點e是ab上一點，連線de，若以a、d、e為頂點的三角形與△abc相似，則ae的長是 ．
思路分析：由於沒確定e點位置，所以兩個三角形對應頂點、對應邊不確定，只有a點為公共頂點確定，所以要分兩種情況討論：(1)當△abc∽△ade時，得＝，代入數值，可求得ae； (2)當△abc∽△aed時，得＝，又可求得另乙個ae.。
【練習】1.在矩形abcd中，ab=12cm，bc=6cm，點p沿ab邊從點a出發向b以2cm秒的速度移動;點q沿da邊從點d開始向a以1cm/秒的速度移動。如果p、q同時出發，用t秒表示移動的時間（0＜x＜6）那麼：
（1）當t為何值時，△qap為等腰直角三角形？
（2）求四邊形qapc的面積；提出乙個與計算結果有關的結論；
（3）當t為何值時，以點q、a、p為頂點的三角形與△ abc相似？
2. a. 第
一、二象限 b. 第
二、三象限 c. 第
三、四象限 d. 第
一、二、三象限
分析：分兩種情況討論。
解：分兩種情況討論：（1）當a＋b＋c≠0時，由等比性質，得
。（2）當a＋b＋c＝0時，a＋b＝－c，
， 綜合（1）（2），直線y＝kx＋k一定經過第象限，故選
方法小結：部分定義、定理、公式和法則本身有範圍或條件限制，在解答這類題時應引起充分注意！
熱點6.綜合題中的分類討論
在一些綜合性計算、證明題中，由於條件可能發生一些變化，這時，我們需要利用變化的條件考慮多種情況來解答問題，多數情況下應關注字母的正負性，未知數的取值範圍，圖形形狀的改變等．
【例1】如圖2－5，在梯形abcd中，dc∥ab，∠a＝90°，ad＝6cm，dc＝4cm，bc＝10，動點p從a出發以2cm/秒的速度沿ab方向向點b運動，動點q從點b出發以3cm/秒的速度沿b→c→d方向向點d運動，兩個動點同時出發，當其中乙個動點到達終點時，另乙個動點也隨之停止．設動點運動的時間為ts. 當t為何值時，pc與bq相互平分；
思路分析：由於q運動路線為b→c→d，所以應分點q在bc上和點q在cd上兩種情況討論解決．
【鞏固試題】1.若x2+4(m-2)x+16是完全平方式，則m等於 。2.已知（2012-x）2=1，則x=＿＿＿＿
3．若等腰三角形的乙個內角為500，則其他兩個內角為＿＿＿
4．等腰三角形的一邊長為3cm，周長是13cm，那麼這個等腰三角形的腰長是＿＿＿。
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