第六單元第33課時
圓的有關性質
知識點回顧：
知識點一：圓的定義，掌握點與圓的位置關係
1. 圓上各點到圓心的距離都等於
2. 圓是對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的圓又是對稱圖形是它的對稱中心.
例1：(2009太原市)如圖，在中，=90°，=10，
若以點為圓心，長為半徑的圓恰好經過的中點，
則的長等於( )
a． b．5
c． d．6
分析：連線cd，因為點d在圓上，所以cd＝cb，又cd是的斜邊中線，所以cd=bd，所以cd＝cb＝bd，所以δbcd是等邊三角形，所以∠b＝60°，所以ac＝ab·sinb＝
解：選a
同步測試：
1.(2009太原市)如圖，ab是半圓o的直徑，點p從點o出發，沿的路徑運動一周．設為，運動時間為，則下列圖形能大致地刻畫與之間關係的是( )
2．(2009荊門市)如圖，在□abcd中，∠bad為鈍角，
且ae⊥bc，af⊥cd．
(1)求證：a、e、c、f四點共圓；
(2)設線段bd與(1)中的圓交於m、n．求證：bm=nd．
知識點二：弦、弧、半圓、優弧、同心圓、等圓、等弧、圓心角、圓周角等與圓有關的概念
1.在同圓或等圓中，相等的弧叫做
2. 同弧或等弧所對的圓周角 ，都等於它所對的圓心角的 .
3. 直徑所對的圓周角是90°所對的弦是
例2：(2023年鎮江市)如圖，⊙o是等腰三角形的外接圓，，，為⊙o的直徑，，鏈結，則
分析：因為∠d和∠a都是弧bc所對的圓周角，所以∠d＝∠a＝45°,因為bd是直徑，所以∠bcd＝90°,所以bc＝bd·sind＝2
解：∠d＝45°；bc=2
同步測試：
1.(2009天津市)如圖，內接於，若，則的大小為( )d
a． b． c． d．
2.(2023年泰州市)如圖，⊿abc內接於⊙o，ad是⊿abc的邊bc上的高，ae是⊙o的直徑，連線be，⊿abe與⊿adc相似嗎？請證明你的結論。
2.解：△abe與△adc相似.
∵ae是⊙o的直徑，∴∠abe=90°
∵∠adc=90°， ∴∠abe=∠adc
又∵∠aeb=∠acd，∴△abe∽△adc
3．如圖，四邊形abcd內接於⊙o，∠adc＝90°，b是弧ac的
中點，ad＝20，cd＝15,求bd的長.
知識點三：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩個圓周角中有一組量 ，那麼它們所對應的其餘各組量都分別 .
例3：(2008呼倫貝爾)如圖：=，分別是半徑和的
中點，與的大小有什麼關係？為什麼？
分析：從條件看，整個圖形為軸對稱圖形，則有cd=ce；由=，可知它們所對的兩個圓心角，兩條弦，兩個圓周角相等，故鏈結oc，構造全等三角形來說明cd=ce.
解：結論：cd=ce.
理由是:鏈結oc,∵d、e分別是oa、ob的中點，∴od=oe,又∵=，∴∠doc＝∠eoc，又oc＝oc，∴△cdo∽△ceo，∴cd＝ce
同步測試：
1．如圖，⊙o中兩條不平行弦ab和cd的中點m，n.且ab＝cd， 求證：∠amn＝∠cnm
2.(2008廣州)如圖，射線am交一圓於點b、c，射線an交該圓於
點d、e，且bc=de．
(1)求證：ac=ae；
(2)利用尺規作圖，分別作線段ce的垂直平分線與∠mce的平分線，
兩線交於點f(保留作圖痕跡，不寫作法)，求證：ef平分∠cen．
知識點四：垂徑定理
垂直於弦的直徑平分並且平分平分弦(不是直徑)的垂直於弦，並且平分
例4：(2009婁底)如圖，ab是⊙o的弦，od⊥ab於d交⊙o於e，
則下列說法錯誤的是 ( )
a．ad=bd b．∠acb=∠aoe
c． d．od=de
同步測試：
1．(2009南寧)如圖，的直徑，弦，
則弦的長為( )
a． b． c． d．
2.(2008南通)已知：如圖，m是的中點，過點m的弦mn交ab於點c，設⊙o的半徑為4cm，mn＝4cm．
(1)求圓心o到弦mn的距離；
(2)求∠acm的度數．
2. 解：(1)鏈結om．∵點m是的中點，∴om⊥ab．
過點o作od⊥mn於點d，
由垂徑定理，得．
在rt△odm中，om＝4，，∴od＝．
故圓心o到弦mn的距離為2 cm．
(2)cos∠omd＝，
∴∠omd＝30°，∴∠acm＝60°．
知識點五：確定圓的條件
三角形的三個頂點確定乙個圓，這個圓叫做三角形的這個圓的圓心叫做三角形的這個三角形是圓的
例4：要將如圖所示的破圓輪殘片複製完成,怎樣確定這個圓輪殘片的圓心和半徑?(寫出找圓心和半徑的步驟).
解：(1)在殘圓上任取三點a、b、c。
(2)分別作弦ab、ac的垂直平分線, 則這兩垂直平分線的交點即是所求的圓心
(3)連線oa,則oa的長即是殘圓的半徑.
同步測試：
1.三角形的外心是______的圓心,它是_______的交點,它到_______的距離相等.
(其外接圓三角形三條邊的垂直平分線三角形三個頂點)
.如圖,mn所在的直線垂直平分線段ab,利用這樣的工具,最少使用________ 次就可以找到圓形工件的圓心.(兩)
3.(2023年新疆)如圖，在平面直角座標系中，已知一圓弧過小正方形網格的格點，已知點的座標是，則該圓弧所在圓的圓心座標是
隨堂檢測
1．(2008台州)下列命題中，正確的是( )
①頂點在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數等於圓心角度數的一半；③的圓周角所對的弦是直徑；④不在同一條直線上的三個點確定乙個圓；⑤同弧所對的圓周角相等
abcd．②④⑤
2．(2009雲南省)如圖，a、d是⊙上的兩個點，bc是直徑，若∠d = 35°，則∠oac的度數是( )
a．35° b．55c．65d．70°
3．(2009安徽)如圖，弦cd垂直於⊙o的直徑ab，垂足為h，且cd＝，bd＝，則ab的長為( )
a．2 b．3 c．4 d．5
4.(2023年遂寧)如圖，已知⊙o的兩條弦ac，bd相交於點e，∠a=70o，∠c=50o，那麼sin∠aeb的值為( )
a. bcd.
5.(2023年南京市)如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點處安裝了一台監視器，它的監控角度是．為了監控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監視器臺．
6．(2009成都)如圖，△abc內接於⊙o，ab=bc，∠abc=120°，ad為⊙o的直徑，ad＝6，那麼bd
7．(2009梧州)某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖(2)所示，已知ab＝16m，半徑oa＝10m，則中間柱cd的高度為 m．
8.(2009北京市)如圖，ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab，e為上一點，若∠cea=，則∠abd
9．(2009甘肅慶陽)如圖，在邊長為2的圓內接正方形abcd中，ac是對角線，p為邊cd的中點，延長ap交圓於點e．
(1)∠e度；
(2)寫出圖中現有的一對不全等的相似三角形，並說明理由；
(3)求弦de的長．
10.(2008鎮江)推理運算：如圖，為⊙o直徑，為弦，且，垂足為．
(1)的平分線交⊙o於，鏈結．求證：為的中點；
(2)如果⊙o的半徑為，，
①求到弦的距離；
②填空：此時圓周上存在個點到直線的距離為．
11.(2023年陝西省)問題**
(1)請在圖①的正方形abcd內，畫出使∠apb＝90°的乙個點p，並說明理由．
(2)請在圖②的正方形abcd內(含邊)，畫出使∠apb＝60°的所有的點p，並說明理由．
問題解決
如圖③，現有一塊矩形鋼板abcd，ab＝4，bc＝3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△apb和△cp』d鋼板，且∠apb＝∠cp』d＝60°，請你在圖③中畫出符合要求的點p和p』，並求出△apb的面積(結果保留根號)．
答案1. c 2. b 3. b 4. d
5. 三 6. 7. 4 8. 28
9．解：(1)45．
(2)△acp∽△dep．
理由：∵∠aed=∠acd，∠apc=∠dpe，
∴ △acp∽△dep．
(3)方法一：
∵ △acp∽△dep， ∴
又 ap=，ac=，
∴ de=．
方法二：
如圖2，過點作於點．
在中， ap=
又，∴ df=．
∴ ．
10. (1)，
又，．．
又，．為的中點．
(2)①，為的直徑，，．
又，．， ．
作於，則．
②311．解：(1)如圖①，
連線交於點，則．
點為所求．
(2)如圖②，畫法如下：
1)以為邊在正方形內作等邊；
2)作的外接圓，分別與交於點．
在中，弦所對的上的圓周角均為，
上的所有點均為所求的點．
(3)如圖③，畫法如下：
1)連線；
2)以為邊作等邊；
3)作等邊的外接圓，交於點；
4)在上擷取．
則點為所求．
過點作，交於點．
在中，．．．
在中，，
．在中，，．．．
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2023年中考數學複習
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