習題課直線、平面平行與垂直
【課時目標】 1．能熟練應用直線、平面平行與垂直的判定及性質進行有關的證明．2．進一步體會化歸思想在證明中的應用．
a、b、c表示直線，α、β、γ表示平面．
一、選擇題
1．不同直線m、n和不同平面α、β．給出下列命題：
①mn∥β；
③m，n異面； ④m⊥β．
其中假命題的個數為( )
a．0 b．1 c．2 d．3
2．下列命題中：(1)平行於同一直線的兩個平面平行；(2)平行於同一平面的兩個平面平行；(3)垂直於同一直線的兩直線平行；(4)垂直於同一平面的兩直線平行．其中正確命題的個數有( )
a．4 b．1 c．2 d．3
3．若a、b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的個數為( )
①a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α，a⊥bb∥α；
③a∥α，a⊥bb⊥α．
a．1 b．2 c．3 d．0
4．過平面外一點p：①存在無數條直線與平面α平行；②存在無數條直線與平面α垂直；③有且只有一條直線與平面α平行；④有且只有一條直線與平面α垂直，其中真命題的個數是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
5．如圖所示，正方體abcd－a1b1c1d1中，點p在側面bcc1b1及其邊界上運動，並且總是保持ap⊥bd1，則動點p的軌跡是( )
a．線段b1c
b．線段bc1
c．bb1的中點與cc1的中點連成的線段
d．bc的中點與b1c1的中點連成的線段
6．已知三條相交於一點的線段pa、pb、pc兩兩垂直，點p在平面abc外，ph⊥面abc於h，則垂足h是△abc的( )
a．外心 b．內心 c．垂心 d．重心
二、填空題
7．三稜錐d－abc的三個側面分別與底面全等，且ab＝ac＝，bc＝2，則二面角a－bc－d的大小為________．
8．如果一條直線與乙個平面垂直，那麼，稱此直線與平面構成乙個「正交線面對」，在乙個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的「正交線面對」的個數是________．
9．如圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，p為bd1的中點，則△pac在該正方體各個面上的射影可能是填序號)
三、解答題
10．如圖所示，△abc為正三角形，ec⊥平面abc，bd∥ce，且ce＝ca＝2bd，m是ea的中點，求證：
(1)de＝da；
(2)平面bdm⊥平面eca；
(3)平面dea⊥平面eca．
11．如圖，稜柱abc－a1b1c1的側面bcc1b1是菱形，b1c⊥a1b．
(1)證明：平面ab1c⊥平面a1bc1；
(2)設d是a1c1上的點且a1b∥平面b1cd，求的值．
能力提公升
12．四稜錐p—abcd的頂點p在底面abcd中的投影恰好是a，其三檢視如圖：
(1)根據圖中的資訊，在四稜錐p—abcd的側面、底面和稜中，請把符合要求的結論填寫在空格處(每空只要求填一種)：
①一對互相垂直的異面直線________；
②一對互相垂直的平面________；
③一對互相垂直的直線和平面________；
(2)四稜錐p—abcd的表面積為________．
13．如圖，在多面體abcdef中，四邊形abcd是正方形，ab＝2ef＝2，ef∥ab，ef⊥fb，∠bfc＝90°，bf＝fc，h為bc的中點．
(1)求證：fh∥平面edb；
(2)求證：ac⊥平面edb；
(3)求四面體b－def的體積．
轉化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關係為
即利用線線平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明面面平行(垂直)；反過來，又利用面面平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明線線平行(垂直)，甚至平行與垂直之間的轉化．這樣，來來往往，就如同運用「四渡赤水」的戰略戰術，達到了出奇制勝的目的．
習題課直線、平面平行與垂直答案
知識梳理
aα，bα aβ，α∩β＝b aβ，bβ，a∩b＝p α∩γ＝a，β∩γ＝b aα，bα，a∩b＝p a∥b aβ b⊥a，bα
作業設計
1．d [命題①正確，面面平行的性質；命題②不正確，也可能nβ；命題③不正確，如果m、n有一條是α、β的交線，則m、n共面；命題④不正確，m與β的關係不確定．]
2．c [(2)和(4)對．]
3．a [①正確．]
4．b [①④正確．]
5．a [
連線ac，ab1，b1c，
∵bd⊥ac，ac⊥dd1，
bd∩dd1＝d，
∴ac⊥面bdd1，∴ac⊥bd1，
同理可證bd1⊥b1c，
∴bd1⊥面ab1c．
∴p∈b1c時，始終ap⊥bd1，選a．]
6．c [
如圖所示，由已知可得pa⊥面pbc，pa⊥bc，又ph⊥bc，
∴bc⊥面aph，bc⊥ah．
同理證得ch⊥ab，∴h為垂心．]
7．90°
解析 由題意畫出圖形，資料如圖，取bc的中點e，
連線ae、de，易知∠aed為二面角a—bc—d的平面角．
可求得ae＝de＝，由此得ae2＋de2＝ad2．
故∠aed＝90°．
8．36
解析正方體的一條稜長對應著2個「正交線面對」，12條稜長共對應著24個「正交線面對」；正方體的一條面對角線對應著1個「正交線面對」，12條麵對角線對應著12個「正交線面對」，共有36個．
9．①④
10．證明 (1)如圖所示，
取ec的中點f，連線df，∵ec⊥平面abc，
∴ec⊥bc，又由已知得df∥bc，∴df⊥ec．
在rt△efd和rt△dba中，
∵ef＝ec＝bd，
fd＝bc＝ab，
∴rt△efd≌rt△dba，
故ed＝da．
(2)取ca的中點n，連線mn、bn，則mn綊ec，
∴mn∥bd，∴n在平面bdm內，
∵ec⊥平面abc，∴ec⊥bn．又ca⊥bn，
∴bn⊥平面eca，bn平面mnbd，
∴平面mnbd⊥平面eca．
即平面bdm⊥平面eca．
(3)∵bd綊ec，mn綊ec，
∴bd綊mn，
∴mnbd為平行四邊形，
∴dm∥bn，∵bn⊥平面eca，
∴dm⊥平面eca，又dm平面dea，
∴平面dea⊥平面eca．
11．(1)證明因為側面bcc1b1是菱形，所以b1c⊥bc1．
又b1c⊥a1b，且a1b∩bc1＝b，
所以b1c⊥平面a1bc1．又b1c平面ab1c，所以平面ab1c⊥平面a1bc1．
(2)解設bc1交b1c於點e，連線de，則de是平面a1bc1與平面b1cd的交線．
因為a1b∥平面b1cd，所以a1b∥de．
又e是bc1的中點，所以d為a1c1的中點，
即＝1．
12．(1)①pa⊥bc(或pa⊥cd或ab⊥pd) ②平面pab⊥平面abcd(或平面pad⊥平面abcd或平面pab⊥平面pad或平面pcd⊥平面pad或平面pbc⊥平面pab) ③pa⊥平面abcd(或ab⊥平面pad或cd⊥平面pad或ad⊥平面pab或bc⊥平面pab)
(2)2a2＋a2
解析 (2)依題意：正方形的面積是a2，
s△pab＝s△pad＝a2．
又pb＝pd＝a，∴s△pbc＝s△pcd＝a2．
所以四稜錐p—abcd的表面積是s＝2a2＋a2．
13．(1)證明如圖，設ac與bd交於點g，則g為ac的中點．連線eg，gh，由於h為bc的中點，
故gh綊ab．
又ef綊ab，∴ef綊gh．∴四邊形efhg為平行四邊形．∴eg∥fh．而eg平面edb，fh平面edb，
∴fh∥平面edb．
(2)證明由四邊形abcd為正方形，得ab⊥bc．
又ef∥ab，∴ef⊥bc．
而ef⊥fb，∴ef⊥平面bfc．
∴ef⊥fh．∴ab⊥fh．
又bf＝fc，h為bc的中點，∴fh⊥bc．
∴fh⊥平面abcd．∴fh⊥ac．
又fh∥eg，∴ac⊥eg．又ac⊥bd，eg∩bd＝g，
∴ac⊥平面edb．
(3)解 ∵ef⊥fb，∠bfc＝90°∴bf⊥平面cdef．
∴bf為四面體b－def的高．
又bc＝ab＝2，∴bf＝fc＝．
vb－def＝××1××＝．
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