必修2 2.2直線與平面垂直的判定性質練習（一）
學號姓名
主要知識:
二．性質表述：
主要知識:
二．習題鞏固
1、如圖，ab是⊙o的直徑，pa垂直⊙o所在的平面，c是圓周上不同於a，b的任意一點，求證：平面pac⊥平面pbc。
變式訓練：
2中的四面體p-abc中，哪些平面互相垂直？
（注意與69頁**題目對比）
跟蹤練習：
如圖，在三稜錐p-abc中，已知pa⊥pb，pb⊥pc，pc⊥pa，求證：平面pab⊥平面pbc，平面pbc⊥平面pca，平面pca⊥平面pab。
3. 如圖2，是△abc所在平面外的一點，且pa⊥平面abc，平面pac⊥平面pbc．求證：bc⊥平面pac．
證明：在平面pac內作ad⊥pc交pc於d．
因為平面pac⊥平面pbc，且兩平面交於pc，
平面pac，且ad⊥pc， 由麵麵垂直的性質，得ad⊥平面pbc． 又∵平面pbc，∴ad⊥bc．
∵pa⊥平面abc，平面abc，∴pa⊥bc．
∵ad∩pa=a，∴bc⊥平面pac．
4. 空間四邊形abcd中，若ab⊥cd，bc⊥ad，求證：ac⊥bd
證明：過a作ao⊥平面bcd於o
同理bc⊥do ∴o為△abc的垂心
5. 如圖１所示，abcd為正方形，⊥平面abcd，過且垂直於的平面分別交於．求證：，．
證明：∵平面abcd，
∴．∵，∴平面sab．又∵平面sab，∴．∵平面aefg，∴．∴平面sbc．∴．同理可證．
6. 如圖２，在三稜錐ａ－bcd中，bc＝ac，ad＝bd，
作be⊥cd，ｅ為垂足，作ah⊥be於ｈ．求證：ah⊥平面bcd．
證明：取ab的中點ｆ，鏈結cf，df．
∵，∴．
又，∴平面cdf．
∵平面cdf，∴．
又，，∴平面abe，．
∴平面bcd．
7. 如圖３，是圓ｏ的直徑，ｃ是圓周上一點，平面abc．若ae⊥pc ，ｅ為垂足，ｆ是pb上任意一點，求證：平面aef⊥平面pbc．
證明：∵ab是圓ｏ的直徑，∴．
∵平面abc，平面abc，
∴．∴平面apc．
∵平面pbc，
∴平面apc⊥平面pbc．
∵ae⊥pc，平面apc∩平面pbc＝pc，
∴ae⊥平面pbc．
∵平面aef，∴平面aef⊥平面pbc．
8. 證明：在正方體abcd－a1b1c1d1中，a1c⊥平面bc1d
證明：鏈結ac
ac為a1c在平面ac上的射影
9. 如圖，平面abcd，abcd是矩形，m、n分別是ab、pc的中點，求證：
. 證：取pd中點e，則
10. 以ab為直徑的圓在平面內，於a，c在圓上，連pb、pc過a作ae⊥pb於e，af⊥pc於f，試判斷圖中還有幾組線面垂直。
解：面aef
13.如圖9—41，pa⊥平面abcd，四邊形abcd是矩形，pa=ad=a，m、n分別是ab、pc的中點．
（1）求平面pcd與平面abcd所成的二面角的大小；（2）求證：平面mnd⊥平面pcd
（1）【解】pa⊥平面abcd，cd⊥ad，
∴pd⊥cd，故∠pda為平面abcd與平面pcd所成二面角的平面角，在rt△pad中，pa=ad，
∴∠pda=45°
（2）【證明】取pd中點e，鏈結en，ea，則en cd am，∴四邊形enma是平行四邊形，∴ea∥mn．
∵ae⊥pd，ae⊥cd，∴ae⊥平面pcd，從而mn⊥平面pcd，∵mn平面mnd，∴平面mnd⊥平面pcd．
14.如圖9—42，正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f、m、n分別是a1b1、bc、c1d1、b1c1的中點．
圖9—42
（1）求證：平面mnf⊥平面enf．（2）求二面角m—ef—n的平面角的正切值．
（1）【證明】∵m、n、e是中點，∴∴
∴即mn⊥en，又nf⊥平面a1c1，∴mn⊥nf，從而mn⊥平面enf．∵mn 平面mnf，
∴平面mnf⊥平面enf．
（2）【解】過n作nh⊥ef於h，鏈結mh．∵mn⊥平面enf，nh為mh在平面enf內的射影，
∴由三垂線定理得mh⊥ef，∴∠mhn是二面角m—ef—n的平面角．在rt△mnh中，求得mn=a，nh=a，
∴tan∠mhn=，即二面角m—ef—n的平面角的正切值為．
15．如圖9—44，已知斜三稜柱abc—a1b1c1的各稜長均為2，側稜與底面成的角，側面abb1a1垂直於底面，
圖9—44
（1）證明：b1c⊥c1a．（2）求四稜錐b—acc1a1的體積．
（1）【證明】過b1作b1o⊥ab於o，∵面abb1a1⊥底面abc，面∴b1o⊥面abc，∴∠b1ba是側稜與底面所成角，∴∠b1ba=，又各稜長均為2，∴o為ab的中點，連co，則co⊥ab，而ob1∩co=o，
∴ab⊥平面b1oc，又b1c平面ob1c，∴b1c⊥ab，連bc1，∵bcc1b1為邊長為2的菱形，∴b1c⊥bc1，而ab∩bc1=b，
∴b1c⊥面abc1∵a1c面abc1∴b1c⊥ac1
（2）【解】在rt△bb1o中，bb1=2，bo=1，b1o=，v柱=sh=·4·=3，∴=v柱=1，
=v柱－=3－1=2
16．如圖9—45，四稜錐p—abcd的底面是邊長為a的正方形，pa⊥底面abcd，e為ab的中點，且pa=ab．
圖9—45
（1） 求證：平面pce⊥平面pcd；
（1）【證明】pa⊥平面abcd，ad是pd在底面上的射影，
又∵四邊形abcd為矩形，∴cd⊥ad，∴cd⊥pd，∵ad∩pd=d∴cd⊥面pad，∴∠pda為二面角p—cd—b的平面角，
∵pa=pb=ad，pa⊥ad∴∠pda=45°，取rt△pad斜邊pd的中點f，則af⊥pd，∵af 面pad ∴cd⊥af，
又pd∩cd=d∴af⊥平面pcd，取pc的中點g，連gf、ag、eg，則gf cd又ae cd，
∴gf ae∴四邊形agef為平行四邊形∴af∥eg，∴eg⊥平面pdc又eg 平面pec，
∴平面pec⊥平面pcd．
17．如圖，ab是圓o的直徑，c是圓周上一點，pa⊥平面abc．
（1）求證：平面pac⊥平面pbc；
（2）若d也是圓周上一點，且與c分居直徑ab的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面．
（1）【證明】∵c是ab為直徑的圓o的圓周上一點，ab是圓o的直徑
∴bc⊥ac；
又pa⊥平面abc，bc平面abc，
∴bc⊥pa，從而bc⊥平面pac．
∵bc 平面pbc，
∴平面pac⊥平面pbc．
（2）【解】平面pac⊥平面abcd；平面pac⊥平面pbc；平面pad⊥平面pbd；平面pab⊥平面abcd；平面pad⊥平面abcd．
18．abc—a′b′c′是正三稜柱，底面邊長為a，d，e分別是bb′，cc′上的一點，bd＝a，ec＝a．
（1）求證：平面ade⊥平面acc′a′；
（2）求截面△ade的面積．
（1）【證明】分別取a′c′、ac的中點m、n，鏈結mn，
則mn∥a′a∥b′b，
∴b′、m、n、b共面，∵m為a′c′中點，b′c′=b′a′，∴b′m⊥a′c′，又b′m⊥aa′且aa′∩a′c′=a′
∴b′m⊥平面a′acc′．
設mn交ae於p，
∵ce＝ac，∴pn＝na＝．
又db＝a，∴pn＝bd．
∵pn∥bd， ∴pnbd是矩形，於是pd∥bn，bn∥b′m，
∴pd∥b′m．
∵b′m⊥平面acc′a′，
∴pd⊥平面acc′a′，而pd平面ade，
∴平面ade⊥平面acc′a′．
（2）【解】∵pd⊥平面acc′a′，
∴pd⊥ae，而pd＝b′m＝a，
ae＝a．
∴s△ade＝×ae×pd＝×．
直線與平面垂直的判定
2.3.1 直線與平面垂直的判定 一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握直線與平面垂直的定義及判定定理 2 使學生掌握判定直線和平面垂直的方法 3 培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納 概括結論。2 過程與方法 1 通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定...
直線與平面垂直的判定
引入 知識點 一 相關概念 直線與平面垂直的定義 一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線和這個平面垂直.直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離。記作 畫法 二 判定定理 問題 1 直線與平面內的...
直線與平面垂直的判定教案
南昌二中高鵬 一 教學內容 課題 直線與平面垂直的判定 第一課時 教材 普通高中課程標準實驗教科書北師大版 必修2 第一章第六節 二 教學目標 知識與技能 掌握直線與平面，並能進行簡單應用。過程與方法 在合作 中，逐步構建知識結構 通過直觀感知，操作確認，提高學生的空間想象能力 幾何直觀能力，欣賞事...