直接證明與間接證明

1．直接證明

(1)綜合法

①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：→→→…→(其中p表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，q表示要證明的結論)．

(2)分析法

①定義：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：→→→…→.

2．間接證明

反證法：假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

[難點正本疑點清源]

1．綜合法證明問題是由因導果，分析法證明問題是執果索因．

2．分析法與綜合法相輔相成，對較複雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關係，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用．

1．要證明「＋<2」可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是填序號)

①反證法，②分析法，③綜合法．

答案　②

2．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的個數是________．

答案　3

解析要使＋≥2，只要》0且》0，即a，b不為0且同號即可，故有3個．

3．已知函式f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)＝______(用b表示)．

答案　－b

解析　∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，

∴f(x)為奇函式，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.

4．下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法．其中正確的有

a．2個b．3個c．4個d．5個

答案　d

解析由分析法、綜合法、反證法的定義知①②③④⑤正確．

5．用反證法證明命題「三角形三個內角至少有乙個不大於60°」時，應假設

a．三個內角都不大於60°

b．三個內角都大於60°

c．三個內角至多有乙個大於60°

d．三個內角至多有兩個大於60°

答案　b

解析因為「至少有乙個」的反面是「乙個也沒有」，所以「三角形三個內角至少有乙個不大於60°」的否定是「三角形三個內角乙個也沒有不大於60°」，即「三個內角都大於60°」，故選b.

題型一綜合法的應用

例1　已知a，b，c均為正數，證明：a2＋b2＋c2＋2≥6，並確定a，b，c為何值時，等號成立．

思維啟迪：利用a2＋b2≥2ab，＋≥，再利用ab＋≥2，根據這個解題思路去解答本題即可．

證明因為a，b，c均為正數，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①

同理＋＋≥＋＋，②

故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立．

當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．

即當且僅當a＝b＝c＝3時，原式等號成立．

**提高綜合法往往以分析法為基礎，是分析法的逆過程，但更要注意從有關不等式的定理、結論或題設條件出發，根據不等式的性質推導證明．

已知a、b、c為正實數，a＋b＋c＝1.

求證：(1)a2＋b2＋c2≥；

(2)＋＋≤6.

證明　(1)方法一　a2＋b2＋c2－

＝(3a2＋3b2＋3c2－1)

＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2]

＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)

＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，

∴a2＋b2＋c2≥.

方法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，

∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥.

方法三設a＝＋α，b＝＋β，c＝＋γ.

∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0.

∴a2＋b2＋c2＝2＋2＋2

2＋β2＋γ2

＝＋α2＋β2＋γ2≥，

∴a2＋b2＋c2≥.

(2)∵＝≤＝，

同理≤，≤，

∴＋＋≤＝6，

∴原不等式成立．

題型二分析法的應用

例2　已知m>0，a，b∈r，求證： 2≤.

思維啟迪：本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法．

證明　∵m>0，∴1＋m>0.

所以要證原不等式成立，

只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，

即證m(a2－2ab＋b2)≥0，

即證(a－b)2≥0，

而(a－b)2≥0顯然成立，

故原不等式得證．

**提高分析法的特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」或本身已經成立的定理、性質或已經證明成立的結論等，運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立．通常採用「欲證—只需證—已知」的格式，在表達中要注意敘述形式的規範性．

已知a>0，求證：－≥a＋－2.

證明要證－≥a＋－2，

只要證＋2≥a＋＋.

∵a>0，故只要證2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

從而只要證2≥，

只要證4≥2，即a2＋≥2，

而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．

題型三反證法的應用

例3　已知a≥－1，求證三個方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，

x2＋2ax－2a＝0中至少有乙個方程有實數根．

思維啟迪：「至少有乙個」的否定是「乙個也沒有」，即「三個方程都沒有實數根」．

證明假設三個方程都沒有實數根，則

，∴－這與已知a≥－1矛盾，所以假設不成立，故原結論成立．

**提高結論若是「都是」「都不是」「至多」「至少」形式的不等式，或直接從正面入手難以尋覓解題的突破口的問題，宜考慮使用反證法．用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多種多樣．有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實相違背等等，推導出的矛盾必須是明顯的．

9． (12分)已知四稜錐s－abcd中，底面是邊長為1的正方形，又sb＝sd＝，sa＝1.

(1)求證：sa⊥平面abcd；

(2)在稜sc上是否存在異於s，c的點f，使得bf∥平面sad？若存在，確定f點的位置；若不存在，請說明理由．

(1)證明

由已知得sa2＋ad2＝sd2，

∴sa⊥ad.同理sa⊥ab.

又ab∩ad＝a，∴sa⊥平面abcd.

(2)解假設在稜sc上存在異於s，c的點f，使得bf∥平面sad.

∵bc∥ad，bc平面sad.

∴bc∥平面sad.而bc∩bf＝b，

∴平面sbc∥平面sad.

這與平面sbc和平面sad有公共點s矛盾，

∴假設不成立．故不存在這樣的點f，使得bf∥平面sad.

分析法與綜合法的整合

典例：(12分)已知函式f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是兩兩不相等的正數，且a，b，c成等比數列，試判斷f(a)＋f(c)與2f(b)的大小關係，並證明你的結論．

審題視角　(1)先判斷它們的大小，可用特例法．(2)用分析法探尋證題思路．(3)用綜合法完成證明．事實上，取a＝1，b＝2，c＝4，則f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log23＋log26＝log218,2f(b)＝2f(2)＝2log24＝log216，於是由log218>log216，猜測f(a)＋f(c)>2f(b)．

要證f(a)＋f(c)>2f(b)，則只需證log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，

即證log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，也即證(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.

展開整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.

因為b2＝ac，所以只要證a＋c>2，顯然是成立的．

直接證明與間接證明

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