均衡存在性的證明
一、 邏輯框架
證明定理5.4（3）：如果每個消費者的效用函式都滿足假設5.
1，並且各種稟賦的總數量嚴格為正，，如果是中的**向量數列，收斂於，且在中某些商品的**，則對於**的商品，與**向量數列相對應的總超額需求數列無上界。
含義：如果一些而非所有商品的**任意接近於0，那麼那些商品至少有一種的超額需求將會無限高
解釋：1. 定義在中，即對於所有的，有。
2. 當，，的特徵為且；同時，由於在中某些座標為零，，所以，並不嚴格大於零向量，如，。也就是說，當時，，。
3. 中為零的座標，第個座標，可能等於，也可能不等於，對一切等於零的座標或商品，，其需求為無窮大。由於當時，所以， ，即無上界。
證明：設嚴格為正的**數列收斂於，對於某些商品，有。
由於，且，所以，，所以，至少一位消費者有。
對應於**向量數列，該消費者有需求數列：對於所有的，
我們要證明該消費者的需求數列無上界。
反證法。
設有界，則有收斂子數列。假設數列收斂於，即當時，。
對於所有的，有。有，得。
令，其中第項為1。效用函式強遞增，因此有，。有
效用函式連續，所以，存在乙個，使得且
由於在時，，，所以，在足夠大時，有，，所以，不是消費者問題在下的解。
這與假設相矛盾，所以，與特徵為收斂於且在中某商品的**的**向量數列相對應的需求數列無上界。
無上界，意味著其全部或部分或至少乙個元素無上界。假設是商品的需求無上界。由於此消費者的收入收斂於，所以收入數列有界。也就意味著，因為無上界，所以，即。
由於對商品的需求無上界，而此商品的供給固定，所以消費者i對於商品k』的需求無上界的事實意味著對商品k』的總超額需求數列無上界（因為其他消費者的需求非負）。
定理5.3：（純數學定理）
假設函式滿足下列特徵：
1：連續性：在p>>0上連續
2：瓦爾拉斯法則：,p>>0
3：如果**向量是p>>0中的數列，收斂於，且在中某些商品k,，則對於具有的商品，在該市場上其相應的超額需求數列無上界。
則存在向量p>>0使得
解題思想：應用brouwer不動點定理
的解的存在性的條件：
1． 定義域是：
◆ 非空集；緊集；凸集
◆ 對映是到自身的連續對映：
解題步驟：
1、 構造單純形集合
用表示各商品的貨幣**。用表示相對**。
函式滿足0次齊次性，，尋找使的解，等同於尋找使的解。
相對**向量的特點：，**向量為單純形中的點。
應用不動點定理，函式在定義域上必須是連續的，但是，當某些商品的**為零如圖中的**向量時，該商品的需求為無窮大，呈現不連續的特徵。必須把這種情況排除除去，即設法保證p>>0。
單純形的定義：
給定乙個，保證了p>>0。
因為：對於所有的，令》0。當商品數量n=2時，。
單純形的定義：
單純形是有界集：
單純形是閉集：
單純形是凸集： 取，取，令。。。
，這對所有的都成立。所以，
單純形非空集：令， ,因而中至少存在向量p=（1/n,…,1/n）.
2、 構造
對每乙個，設，p>>0。
結論：有上界。
3、 構造**調整函式：
瓦爾拉斯拍賣人選擇**向量以使所有市場出清，即，使。如果做不到這一點，它不是從**空間中另外選擇乙個點（**向量），而是按一定的規則提高存在超額需求的商品的**（或／和降低存在過度供給的商品的**），**調整函式或規則為：
。如果在**向量為，商品的**為時，商品上存在超額需求，即，它將調高的**，調整幅度為，調整後的**為，再將其調整為相對**：
。注意，這裡的商品**為相對**，調高一種商品的**等於降低了其他所有商品的**，包括本來供求相等的商品的**。分母起到這一作用。
如果在**為時，商品上供求相等，即，它不對此商品**進行調整，但是，由於對其他超額需求的商品**進行調整，影響到分母，相對**發生變化，為：
。如果在**為時，商品上供過於求，即，它不對此商品**進行調整，但是，由於對其他超額需求的商品**進行調整，影響到分母，相對**發生變化，為：
以這種方式得到的新的**向量。
的作用：
①存在是為了確保調整後的**f(p)>>0。>0
②分母是分子的加總，目的使。
所以，以上兩點保證了在單純形裡，而原始**向量也在單純形裡，所以，為從自身到自身的對映。
接下來分析fk(p)的性質.
超額需求函式為連續函式，所以為連續函式，所以分子分母為連續函式；如果分母不為零，則為連續對映。分母始終大於等於1，所以，連續。
所以的定義域滿足brouwer不動點定理中有界集、閉集、凸集和非空集的要求，函式本身構成連續對映，滿足不動點定理，所以存在使。或者說，對所有的，存在。即
調整後得到：
結論：對每乙個，在**向量集合中有一**向量使上式成立。
[, , , ]。
4、 證明在條件3下，**序列收斂於
令，考慮滿足上式的**向量序列，根據定義，，有界。由實變函式論知道，實數域緊集上的任一有界序列必定收斂，設序列收斂於。
必然滿足，因為。我們將證明在條件3下，該**序列收斂於。就是說，條件3保證了**向量嚴格為正。
反證法：
假設該**序列收斂於。不滿足。則在其中有些商品的**為零。條件3指出，當有以上特徵時，在某些**為零的商品上，在與相對應的該商品的超額需求序列無上界。
但是當時，，，，有。
而在，時，上式等號左邊趨近零。而右邊為1。上式等號不成立。這與前面的結論「對每乙個，在**向量集合中有一**向量使上式成立，」相矛盾，所以。
所以，在時，
5、 推導使
對等號左右兩邊對求極限，得到：
等號兩邊乘以，得到：
求和得到
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