高二數學同步測試
不等式的性質與證明
共150分，考試用時120分鐘。
一、選擇題（每小題只有乙個正確答案，本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1．若b<0 a．acb+d d．a－c>b－d
2．對於，給出下列四個不等式
其中成立的是
a．①與③ b．①與④ c．②與③ d．②與④
3．若a、b、c∈r, a2－2ab+c2=0, bc>a2, 則a、b、c的大小關係是
a．b>c>a b．a>b>c c．c>b>a d．b>a>c
4．命題p:若a、b∈r,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件.命題q:函式y=的
定義域是(-∞,-13,+∞).則
a．「p或q」為假 b．「p且q」為真
c．p真q假d．p假q真
5．如果a，b，c滿足c a．ab>ac b．c(b-a)>0 c．cb26．若a、b為實數, 且a+b=2, 則3a+3b的最小值為
a．18b．6 c．2 d．2
7．下列函式中最小值是2的是
ab．cd．8．設m=, 且a+b+c=1(其中a、b、c∈r), 則m的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
9．設a＞0, b＞0，則以下不等式中不恆成立的是
a．≥4 b．≥
cd．≥
10．甲、乙兩人同時從a地出發b地，甲在前一半路程用速度，在後一半路程用速度，乙在前一半時間用速度，在後一半時間用速度，則兩人中誰先到達
a．甲 b．乙 c．兩人同時 d．無法確定
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）
11．已知0<2a<1,若a=1+a2, b=, 則a與b的大小關係是 .
12．設a是互異的三個正數a、b、c中最大的數, 且, 則a+d與b+c的大小關係
是13．若<0,已知下列不等式:①a+b|b| ③a2，其中正確的不
等式的序號為
14．已知α、β是實數, 給出四個論斷:
>2,|β|>2；④|α+β|>5.
以其中的兩個論斷作為條件, 其餘論斷作為結論, 寫出你認為正確的乙個命題 .
15．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據事實提
煉乙個不等式 .
三、解答題（本大題共80分）
16．（10分）設函式f(x)=|lgx|, 若0f(b).證明: ab<1.
17．（8分）已知a、b∈r, a2+b2≤4, 求證: | 3a2－8ab－3b2|≤20.
18．（12分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+)(b+)≥.
19．（12分）某工廠去年的某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），並計畫以後每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預計產量年遞增10萬只，第n次投入後，每只產品的固定成本為（k＞0，k為常數，且n≥0），若產品銷售價保持不變，第n次投入後的年利潤為萬元．
（1）求k的值，並求出的表示式；
（2）問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?
20．（12分）若x為任意實數，求證：—≤≤．
21．（12分）證明：．
22．（14分）求證：必存在常數a，使得lg(xy)≤lga.對大於1的任意x與y
恆成立．
參***（1）
一、選擇題: 1.c 2.d 3.a 4.d 5.c 6.b 7.d 8.d 9.b 10.b
二、填空題:
11. ab+c, 13. ①,④, 14. ①③②④ 或②③①④. 15.
三、解答題:
16．證: ∵f(a)>f(b), ∴|lga|>|lgb|.∴lg2a>lg2b. ∴(lga+lgb)( lga-lgb)>0.
∴lg(ab) lg>0. ∵017．證: ∵ a、b∈r, a2+b2≤4, ∴設a=rcosθ, b=rsinθ, 其中0≤r≤2.
∴| 3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|=5r2|sin(2θ-arctan)|≤5r2≤20.
18．證: 證法一：(分析綜合法)
欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，
即證ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證.
證法二：(均值代換法) 設a=+t1，b=+t2.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜
顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立.
證法三：(比較法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
證法四：(綜合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.
證法五：(三角代換法）
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)
219．解：（1）由，當n＝0時，由題意，可得k＝8，
所以．（2）由
．當且僅當，即n＝8時取等號，
所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元.
20．[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯想到函式的值域，於是
建構函式f（x）=，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。
證明：設 y= ， 則yx2-x+y=0
∵x為任意實數
∴上式中δ≥0，即（-1）2-4y2≥0
∴y2≤
得：—≤y≤
[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函式的定義域。
另外也可聯想到萬能公式中的正弦形式構造三角函式借助其有界性證明。還可採用平均
值不等式求證。
21．證明：
∵，即，
∴=，∴．
法二（構造法、函式法）設，∵
，∴是n是的增函式，
∴≥，∴
22．[分析]此例即證a的存在性，可先分離引數，視引數為變元的函式，然後根據變元函式的值域來求解a，從而說明常數a的存在性。若s≥f(t)恆成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恆成立，則s的最大值為f(t)的最小值。
證明：∵ > 0 (x>1,y>1)
∴原不等式可變形為：lga≥
令 f(x)= ==
而 lgx>0，lgy>0, ∴lg2x+lg2y ≥ 2lgxlgy > 0
∴≤1∴ 1從而要使原不等式對於大於1的任意x與y恆成立，
只需lga≥即 a≥10即可。
故必存在常數a，使原不等式對大於1的任意x、y恆成立．
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