高三數學---------不等式複習
【教學內容】
不等式的性質、不等式證明的幾種常見方法比較法、綜合法、分析法、換元法和放縮法等。
【教學目標】
不等式的性質是不等式證明和求解不等式的理論基礎和前提條件。
比較法是證明不等式的最基本的方法，它思維清晰，可操作性強，適用範圍廣泛，在不等式證明中常常採用。
比較法通常分兩類：
第一、作差與零比較，作差後常需要把多項式因式分解，再由各因式的符號來確定差與零的大小；第
二、作商與1比較，但要注意除式的符號，作商後常需把分子分母因式分解後約分再與1進行大小比較。
綜合法常常用到如下公式：
（1）≥2ab(a,b∈r)
(2)≥ (3)≥2(a.b>0)
(4)≥ (5)≥
利用綜合法證明不等式時常需要進行靈活的恒等變形,創造條件去運用公式。
對於不能直接分析出如何用綜合法來證明的不等式，我們可以採用分析法，執果索因，從要證明的結論出發，去追逆它要成立的條件，得到要證明的結論就是已知條件或已有的公式，從而說明所證不等式成立。另外，換元法、放縮法等對較複雜的不等式的證明也很有幫助。
【知識講解】
例1、 設1>2a>0,試比較a=1+a2與b=的大小。
解：a-b=
= ∵恆成立.
由條件知0<,∴a-1<0,∴a-b<0
即a例2、設a.b∈r+,求證aabb≥abba
分析:這裡所證的不等式的左、右兩邊均正，且都為乘積的形式，所以可以考慮作商與1比較，轉化為運用指數函式的性質來證明。
證明：10當a≥b時,≥1,a-b≥0，由指數函式的性質可知≥1.
20當a>b時, ,a-b<0,同理可得≥1,
綜上所述,≥1即aabb≥abba.
例3、設a>0且a≠1,m>n>0,求證:.
分析：這類不等式顯然不解直接用綜合法來證明，因此仍考慮用比較法，而所證不等式左、右均為幾個因式的代數和的形式，因此常採用作差與0比較的方法。
證明：=10當0n>0,∴am20當a>1時, ∵m>n>0,∴am>an式》0
∴當a>0且 a≠1時.(*)式恆正,即.
例4、設a.b.c∈r+,求證:≤
分析：初看上去似乎與基本不等式有關，但若直接運用基本不等式，僅能得到所證不等式兩端均非負，仍然不能證到原不等式成立。若注意到把兩端括號去掉，則出現了相同項a+b，因此可以考慮用比較法來證明。
證明一、
=∵a.b.c∈r+,∴≥
∴≥0,即所證不等式成立.
證明二、∵
令 ∵a.b.c ∈r+，∴ x,y∈r+
y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2)
y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)≥0
並且僅當x=y即 c2=ab時「=」成立。
說明:證法一運用了基本不等式,關鍵是對進行恒等變形,創造條件運用基本不等式;證法二採用了換元法,關鍵是如何假設變數才解使差式化簡。
例5、當n>2時，求證：logn(n-1).logn(n+1)<1
證明：∵n>2. ∴logn(n-1)>0.logn(n+1)>0
∴logn(n-1).log(n+1)<
∴原不等式成立.
說明:該題所證的結論即為n>2時,logn-1n>logn(n+1),此結論應記住,它對我們今後的學習也是很有幫助的,由它可以得到一連串不等式:log2324>log2425>log2526>lup2627>……。
例6、設a.b.c∈r+,求證:≥.
分析:如果把因式a+b+c乘到括號內,則所證不等式左邊較複雜,很難看出用什麼方法去證明,若我們注意分析該不等式左邊的特徵,它與三個變元的均值不等式的左邊很類似,再聯想到結論:當x.
y.z∈r+時, ≥9就不難得到證明了.
證明:∵a.b.c∈r+ ∴≥
而2(a+b+c)=［( a+b)+(b+c)+(c+a)］≥
∴≥9即≥.
說明:掌握了此類不等式的證明方法後,與此類似的不等式,如10若a.b.c∈r+ 且a+b+c=1求證: ≥20若a.b.c∈r+,
則≥等等就不難證明了.
例7、已知：a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,n∈n求證:a1x1+a2x2+…+anxn≤1
證明:∵a12+x12≥2a1x1 , a22+x22≥2a2x2……an2+xn2≥2anxn,相加得,
a12+a22+…an2)+(x12+x22+…+xn2) ≥2(a1x1+…+anxn)
即a1x1+a2x2+…+anxn≤1.
例8、若a≥3,求證：
證法一：若證原不等式成立，只要證成立，要證此不等式成立，只要證a2-3a證法二:若證原不等式成立,只要證成立,只要證
成立,而此式顯然成立,
∴.例9、已知a>b>0,求證：
證明：若證原不等式成立，只要證：，只要證明
，只要證，只要證
，只要證只要證
即證即證成立，∵a>b>0的此式顯然成立,又以上各步均可逆,∴原不等式成立.
例10、若，則。
證法一、要證只要證，只要證即證：
∵,∴≥ ∴(*)式成立,
∴原不等式成立
證法二、如圖，設a（1,a）,b(1,b),則， 由於三角形兩邊之差的絕對值小於第三邊，
y a(1,a)
o 1 x
b(1,b)
即，∴說明:證法一是運用分析法證明的,在對變形時採用了分子有理化的手段,這種變形方法有著較廣泛的運用,證法二是構造了乙個三角形,其三邊恰好分別是、，然後借助於三角形本身的關係來證明，這種通過構造圖形的方法，往往可以化難為易，化繁為簡，體現了數學中的數形結合的思想，要引起我們高三複習時注意。
【每週一練】
（一） 選擇題：
1、如果0a、loga(1+a)>1 b、（1-a）nf(1-a)
d、［cos(1+a)］-1<［cos(1-a)］-1
2、若 a>b>c,則下列不等式成立的是（ ）
a、ab>ac b、 c、 d、a-bc>b(1-c)
3、已知x,a,b∈r,則下列不等式: ①x2+3>2x, ②a5+b5>a3b2+a2b3, ③a2+b2≥2(a-b-1),
④≥2中恆成立的是 ( )
a、 僅①和② b、僅③和④ c、僅①和③ d、全部
4、若0a、a2+b2 b、a+b c、 d、2ab
5、設x,x+2,x+4是乙個鈍角三角形的三條邊，則x的取值範圍是（ ）
a、32 d、0 6、x∈r，則的（ ）
a、必要條件 b、充分條件 c、充要條件 d、既不充分也不必要條件
7、設0 <2a<1,m=1-a2,n=1+a2,p=那麼（ ）
a、q 8、設a和b是不相等的正數，則（ ）
a、 b、
c、 d、
二、填空題：
9、若a>1, ,那麼m與n的關係是
10、a>b的充要條件是
11、用不等號把連線起來為
12、設與2的大小關係是
13、的條件。
14、當0≤x≤的取值範圍是
15、若p,q∈r+且a=p3+q3,b=p2q+pq2則a,b的大小關係是
三、證明題
16、求證：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2.
17、設a>0且a≠1,t>0,試比較的大小，並證明你的結論。
18、若a≥1,b≥1求證：a2+b2≥ab+a+b-1
19、已知x,y,z∈r求證:x2y2+y2z2+z2x2≥2cyz(x+y+z)
20、設a>b>0,求證：≥3.
21、若a+b=1,求證：≤2
22、a,b,c∈r求證：≥
23、已知a,b,c為不相等的正數，且abc=1求證：
24、若a+b+c=1，且a,b,c均為非負實數，求證：≤
25、設求證：
【每週一練答案】
（一） 選擇題：
1、c 2、d 3、c 4、b 5、b 6、a 7、c 8、d
（二） 填空題：
9、m>n 10、a.b>0 11、
12、 13、必要不充分條件 14、
15、a≥b
（三） 證明題
16、比較法（略）
17、≤,≥
18、略19、略20、略
21、≤
22、略。
23、 24、分析法
25、=≤
構造區域性不等式證明不等式
有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的區域性不等式，逐一證明後，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。例1.若，求證 分析 由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當，即時，等號才能成立，所以可構造區域性不等式。證明 同理，例2.設是n個正數，求證 證明 題中這些正數的對...
不等式性質
用不等號填一填 b2.2a 2b 你發現了什麼？總結歸納 不等式基本性質2 不等式的兩邊都乘 或除以 同乙個正數，不等號的方向不變.即，如果a b，c 0，那麼 ac bc 合作與交流 不等式兩邊同乘以 1，不等號方向改變.猜想 不等式兩邊同乘以乙個負數，不等號方向改變.總結歸納 不等式基本性質3 ...
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...