本週目標：
1. 模擬等式的性質得到不等式的性質，理解不等式的性質及其證明；
2. 掌握比較兩個代數式大小的方法，理解其思維過程。
3. 培養學生靈活應變的解題能力和思考問題嚴謹周密的習慣。
本週重點：
1. 模擬的思想：
2. 不等式的性質及其推論；
本週難點：不等式的性質及其推論的證明
本週內容：
一、不等式的性質及其推論
定理1：對稱性(反身性)：a>bb 定理2：傳遞性：a>b,b>ca>c；c 定理3：可加性：a>ba+c>b+c；
推論：定理4：可乘性：a>b，c>0ac>bc；
a>b，c<0ac 推論1：
推論2：可乘方：a>b>0an>bn(n∈n，n>1)
定理5：可開方：
思考1：不等式性質中，容易錯的有哪些？
答：有條件限制的，如定理4及其推論、定理5，當缺少條件或條件不全時，即可產生假命題。
思考2：不等式性質中哪些條件對結論的成立是充要的？哪些條件對結論的成立是充分非必要的？
答：充要的：定理1、定理3
加一些條件作為大前提後是充要的：
定理4：若c>0，則a>bac>bc；若c<0，則a>bac 定理4的推論2：若a>0，b>0，則a>ban>bn(n∈n，n>1)
定理5：若a>0，b>0，則
充分非必要的：定理2、定理3推論、定理4推論1。
思考3：不等式中可以推廣的性質：
推廣：在元素個數上。
(1)可加性(推論)：
a1>b1,a2>b2,…，an>bn,n∈n+，a1+a2+…+an>b1+b2+…+bn；
(2)可乘性(推論)：
a1>b1>0，a2bn>0a1a2…an>b1b2…bn。
思考4：還可由運算推導出的：
[1]關於減法運算：
[2]關於除法運算：
二、不等式的性質及其推論的證明：
定理1的證明：∵a>b ∴a-b>0，由正數的相反數是負數，得-(a-b)<0，即b-a<0
∴b 定理2的證明：∵a>b，b>c，∴a-b>0，b-c>0，根據兩個正數的和仍是正數，得
(a-b)+(b-c)>0即a-c>0，∴a>c
定理3的證明：∵a>b，∴a-b>0，∴(a+c)-(b+c)=a-b>0，即a+c>b+c
定理3推論的證明：
方法1：(放縮法)
注：其原理是定理2(傳遞性)。
方法2：(作差比較法)(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)
∵a>b,c>d,∴a-b>0，c-d>0，∴(a-b)+(c-d)>0
∴(a+c)-(b+d)>0，∴a+c>b+d
注：作差比較法：核心是作差再與0比大小，其步驟是：作差、變形、確定差的符號、結論。
方法3：(分析法)
欲證a+c>b+d，即證：(a+c)-(b+d)>0，即證：(a-b)+(c-d)>0，
∵a>b,c>d∴a-b>0，c-d>0∴(a-b)+(c-d)>0，所以所證成立。
注：分析法原理是為證命題a，去找使a成立的充分條件b，執果索因，逐步逆找使結論成立的充分條件，直至找到明顯成立的不等式為止。其就是「欲證，只需證」，從結論開始。
定理4的證明：∵a>ba-b>0，c>0c(a-b)>0ac>bc
定理4推論1的證明：
方法1：(放縮法)
∵a>b>0,c>0ac>bc>0，又c>d>0，b>0bc>bd>0，∴ac>bd；
方法2：(作差比較法)ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
∵a>b,c>d，∴a-b>0,c-d>0，，
∵c>0,b>0,∴c(a-b)>0,b(c-d)>0
∴c(a-b)+b(c-d)>0,∴ac-bd>0,∴ac>bd
定理4推論2的證明：
方法1：an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+bn-1)，
∵a>b>0，a-b>0，an-1+an-2+an-3b2+…+bn-1>0，∴an>bn
方法2：由性質4結合指數函式的單調性得：
a>0，b>0，，又n>1得到
方法3：數學歸納法
(1)驗證n=2時，a2-b2=(a+b)(a-b)>0，則命題成立；
(2)假設n=k時命題成立，即ak>bk，
當n=k+1時，ak+1=a·ak>a·bk，∵a>b，
∴a·bk>b·bk=bk+1，ak+1>bk+1，
∴n=k+1時命題也成立；
由(1)(2)對於n∈n+命題都成立。
注：適用於和自然有關的某些命題。
定理5的證明：假設，
a=b；這些均與已知矛盾。所以假設不成立，所以
說明：在上面不等式的性質定理及其推論的證明過程中，我們使用了多種方法進行了證明，「比較是一切理解和思維的基礎」，通過對比，我們要認真的去體會每種方法的原理與格式。
注：反證法核心就是「肯定條件，不定結論，推出矛盾。」其從不定結論開始。
三、本週例題
例1. 判斷下列命題的真假。
(1)a>bac2>bc2；
(2)a2>b2a>b；
(3)a>b且
(4)a>1且b>1a+b>2(且ab>1)
(5)a>b>0，
分析：主要考察不等式性質，準確把握條件。
答案：(1)假命題；考察不等式的可乘性，注意與等式的區別；
(2)假命題，a，b為負數；
(3)假命題![1]從左到右是真命題(p真，q假p或q真)；
[2]從右到左是假!(p或q真p真，q假)
(4)從左到右是真命題，從右到左是假命題!
(5)思考：的證明。
證明：[法1]∵a>b>0，∴a-b>0，ab>0
[法2]
例2.已知：6 關於比大小問題.
例3. (1)已知a≠0，比較a4+a2+1與(a2+1)2的大小；
(2)比較的大小；
分析：關於比大小問題。基本方法----作差與0比較。
解：(1)(a4+a2+1)-(a2+1)2=-a2，
∵a≠0(a4+a2+1)<(a2+1)2；
思考變化：比較a+a2+1與(a+1)2的大小；
分析：∵a+a2+1-(a+1)2=-a
∴a>0a+a2+1<(a+1)2
a=0a+a2+1=(a+1)2；
a<0a+a2+1>(a+1)2；
(2)原理分析：若a>0，b>0，a2>b2ab3a>b
解(2)[法1]①當x3+y3<0時，
②當x3+y3≥0時，
法一：法二：
法三：f(x)=3x2+3y2-2xy，△=4y2-36y2=-32y2<0
∴f(x)=3x2+3y2-2xy>0
[法2]
∵xy≠0，
小結：作差和0比的步驟：
(1)作差；
(2)變形；
(3)定號；
(4)結論。
高二數學不等式的證明方法
一、比較法
地位：比較法(作差法，作商法)是證明不等式的最基本最常用的方法。
作差法：作差，變形(因式分解，與方等)，確定符號；
作商法：作商，化簡，再與1比。
例1、求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac
證明：當a=b=c時等號成立。
評：作差，配方，定號。
類似地，可推廣為：
(1)a2+b2+2≥2(a+b)
(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)
(3)a2+b2≥ab+a+b-1
例2、 求證：a3+b3>a2b+ab2(a，b均為正數，且a≠b)
證法1：a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)
∵a，b均為正數，且a≠b，∴(a-b)2>0，a+b>0
∴a3+b3-(a2b+ab2)>0，即a3+b3>a2b+ab2
證法2：
∴a3+b3>a2b+ab2
證法3：∵a2+b2≥2ab ∴a2+b2-ab≥ab
∴(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)即a3+b3>a2b+ab2
證法4：要證a3+b3>a2b+ab2，即(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)
∵a，b∈，∴a+b>0
只需證a2+b2-ab≥ab
只需證a2+b2≥2ab
只需證(a-b)2≥0，顯然成立。
所以原不等式成立。
證法5：∵a,b∈，且a≠b，不妨設a>b>0，則a-b>0，a2>b2
∴(a-b)a2>(a-b)b2，即a3-a2b>ab2-b3
∴a3+b3>a2b+ab2。
推廣：an+bn≥an-1b+abn-1
例3、已知a>2，b>2，求證：a+b2，b>2 ∴a-1>1,b-1>1，∴(a-1)(b-1)>1
∴-(a-1)(b-1)+1<0，∴a+b-ab<0，即a+b2，b>2
證法3：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，
∵1-b<0，∴f(a)是減函式。
當a>2時，f(a)0，n>0
∴a+b=2+m+2+n=4+(m+n)
ab=(2+m)(2+n)=4+2(m+n)+mn
∴a+bb>c，則
所以，例6. 已知i,m,n，且1b>0,m>0，則」進行放縮。
二、分析法
1. 地位：在不等式證明中占有重要地位，是解決數學問題的一種重要思想方法。
2. 從求證的不等式出發，分析使之成立的條件，把證不等式轉化為判斷這些條件是否具備的問題，若能肯定這些條件都傷，就可斷定原不等式成立，這種證明方法通常叫做分析法。
3. 基本思路：執果索因
4. 格式：要證……，只需證……，只需證……，因為……成立，所以原不等式得證。
5. 綜合法：從已知出發，根據已有的定義、定理，逐步推出欲證的方法，也就是由因導果。
例7. 求證：
證明：(比較法)
(分析法)要證，只需證，只需證，
顯然成立，所以原不等式得證。
例8. 設x>0，y>0，x≠y，求證：
證明：要證
只需證只需證只需證因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0
所以例9. 若a>1，b>1，c>1，ab=10求證：logac+logbc≥4lgc
證明：要證logac+logbc≥4lgc
只需證只需證只需證所以，原不等式成立
三、數學歸納法
格式：(1)當n=n0 (初始值) 時，……不等式成立；
(2)假設當n=k時不等式成立，即……
當n=k+1時……不等式成立
綜上，不等式對一切n∈n*成立
注：(1)兩步三結論；(2)在第二步中，要「看頭，看尾，看中間」；
例10. 設n∈n，n≥3，求證：2n>2n+1;
證明：(1)當n=3時，左=23=8>2×3+1；
(2)假設當n=k時，不等式成立，即2k>2k+1；
當n=k+1時，2k+1=2·>2(2k+1)=2k+2+2k>2k+2+1=2(k+1)+1
∴當n=k+1時，不等式成立；
由(1)(2)知，不等式對一切n∈n，n≥3成立
例11、 設n，n>1，
證明：(1)當n=2時，，不等式成立；
(2)假設當n=k時，不等式成立，即
當n=k+1時，
∴當n=k+1時，不等式成立
由(1)(2)知，對一切n∈n且n>1，不等式均成立。
課後練習：
1、(1)求證：a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca；
(2)已知a，b都是正數，並且a≠b，求證：a5+b5>a2b3+a3b2
(3)已知a，b都是正數，求證：(a+b)(a5+b5)≤2(a6+b6)
2. 已知△abc三邊長為a，b，c，
求證：(1)2ab+2bc+2ac>a2+b2+c2；
(2)4(ab+bc+ac)>(a+b+c)2
提示：(1)2ab+2bc+2ac-(a2+b2+c2)=(b+c-a)a+(a+c-b)b+(a+b-c)c>0
所以不等式成立。
(2)與(1)等價。
高二數學週末練習二
1. 若，則α-β的取值範圍是( )
(a)-π<α-β<π (b)-π<α-β<0
(c) (d)
2. 若a>b，則有( )
(a)a2>b2 (b) (c)lg(a-b)<1 (d)
3. 「abd (d)
5. 若a<0，-1ab>ab2 (b)ab2>ab>a (c)ab>a>ab2 (d)ab>ab2>a
6. 已知02
7. 曲線c的方程是f(x,y)·g(x,y)=0，則f(x0,y0)=0是點m(x0，y0)在曲線c上的( )
(a)充分不必要條件 (b)必要不充分條件
(c)充要條件 (d)既不充分也不必要條件
8. 已知
則mn=( )
(a) (b) (c) (d)
9. 下列各對方程中，表示同一曲線的是( )
(a) (b)y=±x與|y|=|x|
(c) (d)
10. 方程表示( )
(a)一條直線 (b)兩條射線 (c)兩條直線 (d)乙個圓
11. 平面上相異兩點p(cos,)，q(0，1)，求直線pq的斜率和傾斜角的取值範圍。
12. 求到點a(5,0)，b(-5,0)連線斜率之積為定值的動點軌跡方程。
答案：1. b 2. d 3. a 4. c 5. d 6. d
7. a 8. a 9. b 10. b
11. ∵p，q不重合
∴cos≠012.
不等式性質
用不等號填一填 b2.2a 2b 你發現了什麼？總結歸納 不等式基本性質2 不等式的兩邊都乘 或除以 同乙個正數，不等號的方向不變.即，如果a b，c 0，那麼 ac bc 合作與交流 不等式兩邊同乘以 1，不等號方向改變.猜想 不等式兩邊同乘以乙個負數，不等號方向改變.總結歸納 不等式基本性質3 ...
不等式的性質反思
四.教材的開發與利用 教材為學生的學習活動提供基本的線索，是實現課程目標 實施教學的重要的資源，但是課標還強調要用教材而不是教教材，因此我根據教材中提供的基本線索，多教材進行了開發與重組，注重了知識的呈現形式，增添了相關的輔助練習，順利地輔佐完成了本課的教學目標。五.不足與改進的措施 1.時間控制的...
不等式的性質教案
教學過程 一 複習預習 1.實數的常用性質 1 正數大於零，負數小於零，正數大於負數。2 正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0 3 正數的絕對值是其本身，負數的絕對值是其相反數，0的絕對值是0.4 兩個正數的和仍是正數.兩個負數的和是負數。兩個正數的積 商都是正數，兩個負數的積 商...