2．1 不等式的基本性質
【知識要點】
1． 實數的大小比較與實數運算性質之間的大關：；
2． 不等式的基本性質：
（傳遞性）
（加法的單調性）
（加法法則）
（乘法的單調性）
（乘法法則）
（乘法法則）
（開方法則）
【基礎訓練】
1．以下四個條件中，能使成立的充分條件的題號。
。2．已知，則（ ）
。3．已知，則（ ）
（a）（b） （c） （d）。
4．已知，則是的（ ）
（a）充分非必要條件（b）必要非充分條件（c）充要條件（d）既不充要又不必要條件
【精選例題】
例1． （1）（2004北京）已知滿足且，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
（2）（2023年湖北）若，則下列不等式： ； ； 。其中正確的不等式的個數為（ ）
（a）1個（b）2個（c）3個（d）4個
解： （1）由已知，選a。（2）2個
例2．利用不等式的基本性質證明：若則。
證明：因為所以
又因為所以，所以，即，所以
得：，所以。
例3．已知求：的範圍。
解法指導：利用同向不等式的加法法則這一性質解題，注意同向不等式相減的法則不成立，應轉化為同向不等式相加的形式處理，兩端點的等號是否取得要考慮。
解：（1）因為，
所以。且當時，右邊取等號；當時，左邊取等號，
所以。（2）同理可得。
例4．已知函式在r上是增函式，。
（1）當時，試比較與的大小；
（2）由（1）可得怎樣的命題？判斷此命題的逆命題是否成立，並加以證明。
解：（1）因為在r上是增函式，，所以，所以，同理
所以。（2）可得命題：如果且，則。用反證法可以證明其逆命題成立。
例5．設且，求的取值範圍。
解：設，則
所以，，
由已知，
兩式相加得，所以。
【能力訓練】
一、選擇題
1．在下列命題中，不成立的是（ ）
（a） （b）
（cd）
2．若，則「」是「」（ ）
（a）充分非必要條件（b）必要非充分條件（c）充要條件（d）既不充要又不必要條件
3．若，和同時成立的充要條件是（ ）
（a） （b） （c） （d）
4．已知，則下列不等式中恆成立的是（ ）
（a） （b） （c） （d）
5．流速相同時，在水管橫斷面周長相等的水管中，截面是圓的水管與截面是正方形的水管的流量分別是和，則的關係是（ ）
（a） （b） （c） （d）不確定
二、填空題
6．已知，則的取值範圍為。
7．若，則的取值範圍為。
8．設，則的值為。
9．使不等式均成立的與的關係式為。
三、解答題
10．若且，比較與的大小。
11．已知命題甲：，命題乙：，命題丙：。
（1）若甲是乙的必要非充分條件，求應滿足的條件；
（2）若，判斷丙是甲的什麼條件，並加以說明。
12．已知集合，在s中定義一種運算「*」，當時，有，求證：。
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