不等式的證明(一)
【知識點精講】
1. 比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：
①比差法：要證a>b，只須證a-b>0。
②比商法：要證a>b且b>0，只須證0。
說明：①作差比較法證明不等式時， 通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數的性質進行判斷；②一般地運用比商法時要考慮正負，尤其是作為除式式子的值必須確定符號；③證冪指數或乘積不等式時常用比商法，證對數不等式時常用比差法。
2. 綜合法：利用某些已經證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要求證的不等式的方法。證明時要注意字母是否為正和等號成立的條件。
基本不等式：(1)若則當且僅當a=b時取等號。
2) 3)a,b同號,
3. 分析法：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那麼就可以判定所證的不等式成立。
這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程
4. 重點難點: 作差比較法的順序是「作差---變形---判斷差式的正負」；作商比較法的順序是「作商---變形---判斷商式與1的大小」（注意商式的分子分母均正）；綜合法證明不等式是「由因導果」。
5. 思維方式: 掌握證明不等式的常用方法，對較複雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以證明。
6. 特別注意: 在利用不等式的性質或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。
【例題選講】
例1、已知a,b∈r,求證: a2+b2+1>ab+a
證明：p= a2+b2+1-ab-a==
顯然p>0 ∴得證
[思維點拔] 作差比較法的順序是「作差---變形---判斷差式的正負」. 通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數的性質進行判斷
例2、p87例1. 設求證
【分析】不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明。
【證法一】左邊-右邊=
= = = ∴原不等式成立。
【證法二】左邊》0，右邊》0。
∴原不等式成立。
[思維點拔] 用比較法證不等式，一般要經歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。
例3、p87例2已知a,b,x,y
[思維點拔] 觀察特徵,用比較法或分析法
例4、設x>0,y>0且x≠y,求證
證明：由x>0,y>0且x≠y,要證明
只需即只需
由條件,顯然成立.∴原不等式成立
[思維點拔] 分析法證明不等式是「執果索因」, 要注意書寫的格式
練習: .若a、b、c是不全相等的正數，
求證：【分析】根據本題的條件和要證明的結論，既可用分析法由可用綜合法。
【證法一】（綜合法）：，，，
又∵a、b、c是不全相等的正數，∴有。
∴即【證法二】 （分析法）要證
即證成立。只需證成立。
又∵a、b、c是不全相等的正數，∴（*）式等號不成立。
∴原不等式成立。
例5.(p88例3)
某食品廠定期購買麵粉,已知該廠每天需用麵粉6t每噸麵粉的**為1800元,麵粉的保管等費用為平均每噸每天3元,購買麵粉每次需支出運費900元
(1).求該廠多少天購買一次麵粉.才能使平均每天所支付的總費用最小;
(2)若提供麵粉的公司規定:當一次性購買麵粉不少於210t時,其**可優惠9折,問該廠是否考慮利用此優惠條件?說明理由.
[點評]
【課堂小結】
不等式的比較法、綜合法、分析法合稱三種基本方法，是最常用的方法
比較法：①比差法：要證a>b，只須證a-b>0。
②比商法：要證a>b且b>0，只須證0
綜合法：證明時要注意字母取值範圍和等號成立的條件
分析法：要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程
【作業布置】p
高三數學不等式的性質 不等式證明的幾種常見方法
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