2011屆高三數學專題複習――不等式
一、重點知識回顧
1、 不等式的性質是證明不等式和解不等式的基礎
不等式的基本性質有：
（1） 對稱性：a>bb（2） 傳遞性：若a>b，b>c，則a>c；
（3） 可加性：a>ba+c>b+c；
（4） 可乘性：a>b，當c>0時，ac>bc；當c<0時，ac不等式運算性質：
（1） 同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d；
（2） 異向相減：， .
（3） 正數同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。
（4）乘方法則：若a>b>0，n∈n+，則；
（5）開方法則：若a>b>0，n∈n+，則；
（6）倒數法則：若ab>0，a>b，則。
2、基本不等式（或均值不等式）
利用完全平方式的性質，可得a2+b2≥2ab（a，b∈r），該不等式可推廣為a2+b2≥2|ab|；或變形為|ab|≤；
當a，b≥0時，a+b≥或ab≤.
3、不等式的證明
（1） 不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；
（2） 在不等式證明過程中，應注重與不等式的運算性質聯合使用；
（3） 證明不等式的過程中，放大或縮小應適度。
4、 不等式的解法
解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應使每一步的變形都要恒等。
一元二次不等式（組）是解不等式的基礎，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應的函式，方程的聯絡
1 求一般的一元二次不等式或的解集，要結合的根及二次函式圖象確定解集．
2 對於一元二次方程，設，它的解按照可分為三種情況．相應地，二次函式的圖象與軸的位置關係也分為三種情況．因此，我們分三種情況討論對應的一元二次不等式的解集，列表如下：
含引數的不等式應適當分類討論。
5、不等式的應用相當廣泛，如求函式的定義域，值域，研究函式單調性等。在解決問題過程中，應當善於發現具體問題背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函式及多元函式最值是求函式最值的初等數學方法之一。
研究不等式結合函式思想，數形結合思想，等價變換思想等。
6、線性規劃問題的解題方法和步驟
解決簡單線性規劃問題的方法是**法，即借助直線（線性目標函式看作斜率確定的一族平行直線）與平面區域（可行域）有交點時，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：
（1）設出未知數，確定目標函式。
（2）確定線性約束條件，並在直角座標系中畫出對應的平面區域，即可行域。
（3）由目標函式z＝ax＋by變形為y＝－x＋，所以，求z的最值可看成是求直線y＝－x＋在y軸上截距的最值（其中a、b是常數，z隨x，y的變化而變化）。
（4）作平行線：將直線ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行線），使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使最大（或最小）時所經過的點，求出該點的座標。
（5）求出最優解：將（4）中求出的座標代入目標函式，從而求出z的最大（或最小）值。
7、絕對值不等式
（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集為：；
｜x｜＞a（a＞0）的解集為：。
（2）二、考點剖析
考點一：不等關係與不等式
【內容解讀】養成推理必有依據的良好習慣，不要想當然，不要錯漏不等式性質使用的條件，如， 中，注意後面大於０的條件，出題者往往就在這裡出一些似是而非的題目來迷惑考生．
【命題規律】高考中，對本節內容的考查，主要放在不等式的性質上，題型多為選擇題或填空題，屬容易題。
例１、設，若，則下列不等式中正確的是（ ）
a． b. c. d.
解：由知, ,所以,故選c.
點評：本題考查絕對值的概念和絕對值的性質，如果用特殊值法也能求解。
例2、已知為非零實數，且，則下列命題成立的是( )
a、 b、 c、 d、
解：取a＝－3，b＝２，由（ａ）（ｂ）（ｄ）都錯，故（c）。
點評：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應試時要時刻牢記有這麼一種方法。這裡a，b沒有說明符號，注意不要錯用性質。
【命題規律】高考中，對本節內容的考查，主要放在不等式的性質上，題型多為選擇題或填空題，屬容易題。
例3、(2008廣東)設，若，則下列不等式中正確的是（ ）
a． b. c. d.
解：由知, ,所以,故選c.
點評：本題考查絕對值的概念和絕對值的性質，如果用特殊值法也能求解。
例4、(2007上海理科)已知為非零實數，且，則下列命題成立的是( )
a、 b、 c、 d、
解：取a＝－3，b＝２，由（ａ）（ｂ）（ｄ）都錯，故（c）。
點評：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應試時要時刻牢記有這麼一種方法。這晨a，b沒有說明符號，注意不要錯用性質。
考點二：一元二次不等式及其解法
【內容解讀】會從實際情況中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式與函式方程的聯絡；會解一元二次不等式，會由一元二次不等式的解求原不等式；用同解變形解不等式，分類解不等式；對解含參的不等式，對引數進行討論；注意數形結合，會通過函式圖象來解不等式．
（1）用圖象法解一元二次不等式
教材中在研究一元二次不等式的解法時，是結合二次函式的圖象，利用對應的一元二次方程的解得出的，所以我們學習一元二次不等式的解法時，應從二次函式圖象出發加以理解．
（2）弄清一元二次方程、二次函式、一元二次不等式三者之間的關係
二次函式是研究自變數x與函式值y之間的對應關係，一元二次方程的解就是自變數為何值時，函式值的這一情況；而一元二次不等式的解集是自變數變化過程中，何時函式值（）或（）的情況．一元二次方程的解對研究二次函式的函式值的變化是十分重要的，因為方程的兩根是函式值由正變負或由負變為正的分界點，也是不等式解的區間的端點．學習過程中，只有搞清三者之間的聯絡，才能正確認識與理解一元二次不等式的解法．
【命題規律】高考命題中，對一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現，則會對不等式直接求解，或經常地與集合、充要條件相結合，難度不大。若以解答題出現，一般會與引數有關，或對引數分類討論，或求引數範圍，難度以中檔題為主。
例5、不等式的解集是（ ）
a． b． c． d．
解：原不等式可化為x2－x＞０，即x（x－１）＞０，所以x＜０或x＞１，選（ｄ）．
點評：這是一道很簡單的一元二次不等式的試題，只要知道它的解法即可．
例6、「」是「」的什麼條件……（ ）
a．充分而不必要 b．必要而不充分 c．充要 d．既不充分也不必要
解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由得：－2＜x＜3，
－2＜x＜2成立，則－2＜x＜3一定成立，反之則不一定成立，所以，選（ａ）。
點評：本題是不等式與充分必要條件結合的綜合考查題，先解出不等式的解集來，再由充分必要條件的判斷方法可得。
例7、不等式的解集為 ．
解：原不等式變為，由指數函式的增減性，得：
，所以填：。
點評：不等式與指數函式交匯、不等式與對數函式交匯、不等式與數列交匯是經常考查的內容，應加強訓練。
例8、已知集合，，若，求實數的取值範圍．
解：．設，它的圖象是一條開口向上的拋物線．
（1）若，滿足條件，此時，即，
解得；（2）若，設拋物線與軸交點的橫座標為，
且，欲使，應有，
結合二次函式的圖象，得即解得．綜上的取值範圍是．
點評：本題是一元二次不等式與集合結合的綜合題，考查含引數一元二次不等式的解法，注意分類討論思想的應用，分類時做到不遺漏。
【命題規律】高考命題中，對一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現，則會對不等式直接求解，或經常地與集合、充要條件相結合，難度不大。若以解答題出現，一般會與引數有關，或對引數分類討論，或求引數範圍，難度以中檔題為主。
例9. 設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比較f(x)與g(x)的大小.
解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y2)aabb＞abba
變式訓練1：不等式log2x+3x2＜1的解集是
答案：。
解析：：或。
例2. 設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比較f(x)與g(x)的大小.
解：當0＜x＜1或x＞時，f(x)＞g(x)；當1＜x＜時，f(x)＜g(x)；當x＝時，f(x)＝g(x).
變式訓練2：若不等式(－1)na＜2＋對於任意正整數n恆成立，則實數a的取值範圍是
例3. 函式＝ax2＋bx滿足：1≤≤2，2≤≤4，求的取值範圍．
解：由f (x)＝ax2＋bx得
f (－1)＝a－b，f (1)＝a＋b，f (－2)＝4a－2b ；a＝[f (1)＋f(－1)]；b＝[f (1)－f(－1)]
則f(－2)＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)]＝3f (－1)＋f (1)
由條件1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4 可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4；得f (－2)的取值範圍是5≤f (－2)≤10.
高三數學專題複習不等式
一 大綱解讀 從考試大綱的要求看，本專題的主要考點就是 解一元二次不等式 簡單的線性規劃 基本不等式在求最值中的應用 合情推理 主要是歸納和模擬 綜合法與分析法 反證法 數學歸納法 複數的概念和代數形式的四則運算及其集合意義。二 高考 本專題的不等式部分在高考中往往是一到兩個小題，重點考查簡單的線性...
2019屆高三數學專題複習教案 不等式
一 本章知識結構 二 考試內容 1 理解不等式的性質及其證明。2 掌握兩個 不擴充套件到三個 正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用。即基本不等式的應用 3 掌握分析法 綜合法 比較法證明簡單的不等式。4 掌握簡單不等式的解法。5 理解不等式 a b a b a b 三 重點知...
高三數學不等式教案
不等式知識網路 第1課時不等關係與不等式 1.目標 會利用不等式性質定理判斷命題真假，掌握不等式證明方法.2.重點 掌握不等式的性質和利用不等式的性質證明簡單的不等式,利用不等式的性質證明簡單的不等式 3 難點 正確理解現實生活中存在的不等關係.用不等式 組 正確表示出不等關係。知識要點 1.比較原...