一、大綱解讀
從考試大綱的要求看，本專題的主要考點就是：解一元二次不等式、簡單的線性規劃、基本不等式在求最值中的應用、合情推理（主要是歸納和模擬）、綜合法與分析法、反證法、數學歸納法、複數的概念和代數形式的四則運算及其集合意義。
二、高考**
本專題的不等式部分在高考中往往是一到兩個小題，重點考查簡單的線性規劃問題和基本不等式在求最值中的應用，解答題一般沒有純粹不等式的題目，而，會穿插在其他試題中進行綜合考查；推理與證明部分可能有乙個題目以選擇或填空題的方式考查歸納推理或模擬推理，在試卷的各個部分都有推理與證明，可能還會在解答題裡的乙個小問題上考查反證法或數學歸納法的應用；複數部分一般是乙個小題，主要的考查點是複數的概念和複數代數形式的四則運算，試題難度中等偏下。整個專題在高考試卷中大約有20分，佔整個試卷的15%。
三、 重點剖析
重點1.解一元二次不等式
例1 不等式的解集為，則函式的圖象為（ ）
分析：結合所給的不等式的解集和二次函式的圖象，可以知道函式圖象是開口向下的拋物線，並且與的兩個交點的橫座標是，而函式與函式的圖象關於軸對稱，那麼的圖象也是開口向下的拋物線並且與軸的兩個交點的橫座標是，由此就可以確定選c。由於題目中只涉及到兩個待定的引數，也可以根據題目的條件將這兩個引數求出來，再作具體的判斷。
解析： 由解得，則選c.
點評：二次函式、一元二次方程、一元二次不等式三者之間關係密切，是高中數學中數形結合的典範，其中的關鍵點就是二次函式圖象與交點的橫座標（如果有交點的話），它是相應的不等式解集的端點，是相應方程的兩個根，是函式的零點。本題中的函式是在函式中以代替得到的，這樣的兩個函式圖象關於軸對稱（還可以總結什麼樣的兩個函式圖象關於軸對稱、關於座標原點對稱等）。
三個二次歷年來都是高考的熱點，特別是新課標引進函式零點的概念和對不等式的解只要求會解一元二次不等式的時候，要仔細體會著三個二次之間的關係。
重點2.簡單的線性規劃
例2 已知集合，
集合，若，則的取值範圍是 ．
分析：題目中的兩個集合可以看作是平面上的兩個區域，題目要解決的是這兩個區域有公共點的問題，可以借助於數形結合的方法去**問題的答案。
解析：集合所表示的平面區域是由區域將中心平移到中心得到的，要使，結合圖象可以知道，曲線必需經過點和點，代入得和，故的取值範圍是．如圖。
點評：本題的主題是借助於「線性規劃的思想方法」考查數形結合的思想意識以及分析問題和解決問題的能力。高考對二元一次不等式組所表示的平面區域的考查，已經不在侷限於目標函式是線性的了，目標函式越來越豐富多彩，但要記住解決問題的基本思想仍然是解決目標函式是線性的思想。
本題的區域可以看作區域先向右平移個單位，再向上平移個單位的結果，而區域是四條線段所圍成的乙個邊長為的正方形，對這個區域考生要熟悉。
重點3.基本不等式的應用
例3 設，是大於的常數，函式，若恒成立，則的取值範圍是
a. b. c. d.
分析：實際上就是函式的最小值大於或等於。函式的特點是變數在分母上，且兩個分式的分母之和為常數，這樣就可以使用常數代換的方法解決函式的最小值。
解析：由，解得，選d。
點評：基本不等式在必修部分的要求就是兩個正數的算術、幾何平均值不等式，這個不等式的主要應用就是求一些函式或式子的最值，值得注意的是其使用條件，可以概括為「一正、二定、三相等」。在使用基本不等式求最值時，常數代換是經常使用的方法，要注意體會。
例4 已知，，成等差數列，成等比數列，則的最小值是（ ）
分析：在等差、等比數列中，若涉及數列的多項，可考慮運用等差（比）數列的性質減少項。本題考查性質：若m+n=p+q，則在等差數列中；在等比數列中。
解：由題知，，，
則＝，當且僅當 x=y時取等號。故選d。
點評：（1）本題關鍵是運用等差、等比數列的性質將結論轉化為用x，y表示，然後用基本不等式解決問題。
（2）注意觀察代數式的結構特徵，合理選用不等式進行和式與積式的轉化。
變式：若成等差數列，成等比數列，則的範圍是
解：由題知，則＝。
當時， ，當且僅當 x=y時取等號。
當時，＝，當且僅當x=-y時取等號。
綜上範圍為
點評：運用不等式求最值時，注意三個條件一正：即a,b兩數為正時方可運用上述不等式；二定：
即求和的最值須構造積為定值，求積的最值須構造和為定值；三相等：即驗證等號成立的條件是否存在。
重點四.合情推理
例5 已知數列滿足，，，記，則下列結論正確的是（ ）
分析：通過觀察選擇支的特點和題目的已知條件，可知本題易於使用歸納的方法**問題的答案。
解析：，；；； ．
通過觀察、分析，知都是每隔6項重複。
所以由歸納推理，得，．故此題選ａ．
點評：數列問題有它的特殊性，在一些規律不明顯的情況下，通過解決數列的前幾項歸納猜測其一般規律的方法是經常使用的，在數列問題中蘊含著可以使用合情推理解決的大量問題，高考中合情推理的題目主要的知識依託就是數列、不等式和立體幾何。
重點五.綜合法與分析法
例6 若，求證：．
分析：從結論和條件兩個方面入手，尋找恰當的「中間結果」，實現問題的溝通，分析法和綜合法聯合使用，達到證明的目的。
證明：.要證，只需證．由，兩邊平方得，， ．
點評：綜合法和分析法並用實際上是解決數學問題的一般思維方式，在解決數學問題的過程中分析和綜合往往是相互伴隨的，綜合的過程離不開對問題的分析，分析的結果離不開綜合的表達，因此在選擇數學證明方法時，一定要有「綜合性選取」的意識，要明確數學證明方法不是孤立的，是相互聯絡，他們在同乙個問題中往往互動使用。
重點六.反證法
例7 如果是不全相等的實數，若成等差數列，求證：不成等差數列。
分析：所證是乙個否定性的結論，直接證明不好入手，可考慮用反證法。
證明：假設成等差數列，則。
由於成等差數列，故，那麼，即.由、得，與是不全相等的實數矛盾，故不成等差數列。
點評：當出現下列幾種情況時可考慮用反證法：①命題用否定形式敘述的；②命題用「至多、至少」等文字敘述的；③當命題成立非常明顯，而要直接證明，所用的理論較少，且不容易說明白時（如證明是無理數等）；④惟一性命題；⑤從正面證明比較難入手的問題。
重點七.數學歸納法
例8用數學歸納法證明對的自然數都成立時，第一步中的起始值的最佳值應取為（ ）
a．1 b．3 c．5 d．6
分析：指數的增長具有「**性」，故在一定的「地方」必然會超過二次多項式的值，只要從前幾個值檢驗即可。
解析：當時不等式成立，當．和時不等式不成立，而當以後不等式恆成立，故用數學歸納法證明時最佳起始值應取為5，選c．
點評：用數學歸納法證明與自然數有關的命題時，第乙個自然數的選取至關重要，它是起始值，是結論成立的開始，在用數學歸納法證明問題時首先要證明問題對這個值成立。
重點八.複數的概念與運算及其幾何意義
例9 複數的共軛複數所對應的點位於復平面的 （ ）
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
分析：將所給的複數具體計算出來，根據共軛複數的概念求出這個共軛複數，再根據復數的幾何意義確定問題的答案。
解析：，故．
點評：高考對複數的考查集中在複數的概念和代數形式的四則運算方面，復數的幾何意義和共軛複數也是值得關注的考點。本題將複數的運算、概念和幾何意義融為一體，體現了高考命題的綜合性。
四掃雷先鋒
易錯點1.忽視基本不等式成立的條件
例1 求函式的值域 。
錯解：（僅當時取等號），所以值域為。
剖析：這裡錯誤在於使用均值定理時忽略了條件：
正解：；
所以函式的值域是。
點評：在用基本不等式時一定要注意其使用條件，成立的條件是為正數。
易錯點2.忽視等號成立的條件
例2錯解：
所以的最大值為。
剖析：這裡（1）取等號的條件是僅當；由條件知這是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正解：僅當時取等，所以。
如取點評：使用基本不等式求最值時一定要檢驗其等號成立與否，不然極易出錯。
易錯點3.盲目模擬
例3 函式的最小正週期是
錯解：因為函式y＝tanx的最小正週期是，所以函式的最小正週期是.
剖析：先前研究過函式的週期性，由其圖象（圖1）可知它的最小正週期是y＝sinx週期的一半，由此模擬；認為的週期就是y＝tanx週期的一半。
正解：現作出的圖象（圖2），易見其最小正週期仍為.
點評：模擬的結論不一定正確，在模擬時要做到合情又合理。
易錯點4.忽視兩個複數如果不都是實數它們之間不能比較大小。
例4 設是實數，＝＋，＝＋，那麼使＞的的集合是使＜的的集合是
錯解：由於兩個複數只能說相等或不相等，而不能比較大小，因此所求集合是空集。
剖析：未理解「兩個複數只能說相等或不相等，而不能比較大小」的意義。因為複數可以表示虛數或實數，當、不全為實數時，它們不能比較大小；當、均為實數時，當然可以比較大小。
正解：由題意可知、均為實數，所以解方程組得＝±1。因為＞，所以＞，解得＝－1。當＜時，＜，解得＝1。所以使＞的的集合是，使＜的的集合是。
點評：解決數學問題是對數學概念的理解要準確，不要以偏概全。
五、規律總結
1.幾個重要的不等式：
③如果，則≥≥≥
2.最值定理：當兩個正數的和一定時，其乘積有最大值；當兩個正數的乘積一定時，其和
有最小值。
3.如何正確選擇綜合法、分析法、反證法
（1）綜合法常用於由已知推結論較易找到思路時．
（2）分析法常用於條件複雜，思考方向不明確，運用綜合法較難證明時．
（3）單純應用分析法證題並不多見，常常是用分析法找思路，用綜合法寫過程，因為綜合法宜於表達，條理清晰．
（4）注意分析法的表述方法：「要證明…，只需證明…，因為…成立，所以…成立」，「為了證明…，只需證明…，即…，因此只需證明…」．
（5）在證明一些否定性命題，惟一性命題，或含有「至多」，「至少」等字句的命題時，正面證明較難，則考慮反證法，即「正難則反」．
高三數學專題複習教案 不等式
2011屆高三數學專題複習 不等式 一 重點知識回顧 1 不等式的性質是證明不等式和解不等式的基礎 不等式的基本性質有 1 對稱性 a bb 2 傳遞性 若a b，b c，則a c 3 可加性 a ba c b c 4 可乘性 a b，當c 0時，ac bc 當c 0時，ac不等式運算性質 1 同向...
2019屆高三數學專題複習教案 不等式
一 本章知識結構 二 考試內容 1 理解不等式的性質及其證明。2 掌握兩個 不擴充套件到三個 正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用。即基本不等式的應用 3 掌握分析法 綜合法 比較法證明簡單的不等式。4 掌握簡單不等式的解法。5 理解不等式 a b a b a b 三 重點知...
高三數學複習不等式的證明
不等式的證明 一 知識點精講 1.比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式 比差法 要證a b，只須證a b 0。比商法 要證a b且b 0，只須證0。說明 作差比較法證明不等式時，通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數的性質進行判斷 一般地運用...