2023年高考數學複習資料
專題三：數列與不等式的交匯題型分析及解題策略
【命題趨向】
數列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現，試題還可能涉及到與導數、函式等知識綜合一起考查.主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關係、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、引數取值範圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能．近年來加強了對遞推數列考查的力度，這點應當引起我們高度的重視．如08年北京文20題(12分)中檔偏上，考查數列與不等式恆成立條件下的引數問題、08年湖北理21題(12分)為中檔偏上，考查數列與不等式交匯的探索性問題、08年江西理19題(12分)中等難度，考查數列求和與不等式的交匯、08年全國卷ⅰ理22(12分)壓軸題，難說大，考查數學歸納法與不等式的交匯，等等.
預計在2023年高考中,比較新穎的數列與不等式選擇題或填空題一定會出現.數列解答題的命題熱點是與不等式交匯,呈現遞推關係的綜合性試題.其中,以函式與數列、不等式為命題載體,有著高等數學背景的數列與不等式的交匯試題是未來高考命題的乙個新的亮點,而命題的冷門則是數列與不等式綜合的應用性解答題.
【考試要求】
1．理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項．
2．理解等差數列的概念．掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能解決簡單的實際問題．
3．理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，並能解決簡單的實際問題。
4．理解不等式的性質及其證明．
5．掌握兩個（不擴充套件到三個）正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用．
6．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．
7．掌握簡單不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．
【考點透視】
1．以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯.
2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函式的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想，試題新穎別緻，難度相對較大.
3．將數列與不等式的交匯滲透於遞推數列及抽象數列中進行考查，主要考查轉化及方程的思想.
【典例分析】
題型一求有數列參與的不等式恆成立條件下引數問題
求得數列與不等式綾結合恆成立條件下的引數問題主要兩種策略：(1)若函式f(x)在定義域為d，則當x∈d時，有f(x)≥m恆成立f(x)min≥m；f(x)≤m恆成立f(x)max≤m；(2)利用等差數列與等比數列等數列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.
【例1】 等比數列的公比q＞1，第17項的平方等於第24項，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恆成立的正整數n的取值範圍.
【分析】 利用條件中兩項間的關係，尋求數列首項a1與公比q之間的關係，再利用等比數列前n項公式和及所得的關係化簡不等式，進而通過估算求得正整數n的取值範圍.
【解】 由題意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.
由等比數列的性質知：數列{}是以為首項，以為公比的等比數列，要使不等式成立，
則須＞，把a＝q18代入上式並整理，得q18(qn－1)＞q(1－)，
qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整數的取值範圍是n≥20.
【點評】 本題解答數列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現為用數列知識化簡，用不等式知識求得最後的結果.本題解答體現了轉化思想、方程思想及估算思想的應用.
【例2】 （08·全國ⅱ）設數列的前項和為sn．已知a1＝a，an+1＝sn＋3n，n∈n*．(ⅰ)設bn＝sn－3n，求數列的通項公式；（ⅱ）若an+1≥an，n∈n*，求a的取值範圍．
【分析】 第（ⅰ）小題利用sn與an的關係可求得數列的通項公式；第（ⅱ）小題將條件an+1≥an轉化為關於n與a的關係，再利用a≤f(n)恆成立等價於a≤f(n)min求解．
【解】 (ⅰ)依題意，sn+1－sn＝an+1＝sn＋3n，即sn+1＝2sn＋3n，
由此得sn+1－3 n+1＝2(sn－3n)．
因此，所求通項公式為bn＝sn－3n＝(a－3)2 n1，n∈n*, ①
(ⅱ)由①知sn＝3n＋(a－3)2 n1，n∈n*，
於是，當n≥2時，an＝sn－sn1＝3n＋(a－3)2 n1－3n1－(a－3)2 n2＝2×3n1＋(a－3)2 n2，
an+1－an＝4×3 n1＋(a－3)2 n2＝2 n2·[12·()n2＋a－3]，
當n≥2時，an+1≥an，即2 n2·[12·()n2＋a－3]≥0，12·()n2＋a－3≥0，∴a≥－9，
綜上，所求的a的取值範圍是[－9，＋∞]．
【點評】 一般地，如果求條件與前n項和相關的數列的通項公式，則可考慮sn與an的關係求解.本題求引數取值範圍的方法也一種常用的方法，應當引起重視.
題型二數列參與的不等式的證明問題
此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數的增加與減少等手段達到證明的目的.
【例3】 已知數列是等差數列，其前n項和為sn，a3＝7，s4＝24．(ⅰ)求數列的通項公式；(ⅱ)設p、q都是正整數，且p≠q，證明：sp+q＜(s2p＋s2q)．
【分析】 根據條件首先利用等差數列的通項公式及前n項公式和建立方程組即可解決第(ⅰ)小題；第(ⅱ)小題利用差值比較法就可順利解決.
【解】 （ⅰ）設等差數列的公差是d，依題意得， ，解得，
∴數列的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
（ⅱ）證明：∵an＝2n＋1，∴sn＝＝n2＋2n．
2sp+q－(s2p＋s2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，
∵p≠q，∴2sp+q－(s2p＋s2q)＜0，∴sp+q＜(s2p＋s2q)．
【點評】 利用差值比較法比較大小的關鍵是對作差後的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.
【例4】 (08·安徽高考)設數列滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈n*，其中c為實數.(ⅰ)證明：an∈[0，1]對任意n∈n*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(ⅱ)設0＜c＜，證明：
an≥1－(3c)n1，n∈n*；（ⅲ）設0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈n*.
【分析】 第（1）小題可考慮用數學歸納法證明；第（2）小題可利用綜合法結合不等關係的迭代；第（3）小題利用不等式的傳遞性轉化等比數列，然後利用前n項和求和，再進行適當放縮.
【解】（ⅰ）必要性：∵a1＝0，a2＝1－c，
又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].
充分性：設c∈[0，1]，對n∈n*用數學歸納法證明an∈[0，1].
(1)當n＝1時，a1∈[0，1].
(2)假設當n＝k時，ak∈[0，1](k≥1)成立，則
ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，
∴ak＋1∈[0，1]，這就是說n＝k＋1時，an∈[0，1].
由（1）、（2）知，當c∈[0，1]時，知an∈[0，1]對所胡n∈n*成立.
綜上所述，an∈[0，1]對任意n∈n*成立的充分必要條件是c∈[0，1].
（ⅱ）設0＜c＜，當n＝1時，a1＝0，結論成立.
當n≥2時，由an＝can13＋1－c，∴1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12)
∵0＜c＜，由(ⅰ)知an1∈[0，1]，所以1＋an1＋an12≤3，且1－an1≥0，∴1－an≤3c(1－an1)，
∴1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…≤(3c) n1(1－a1)＝(3c) n1，∴an≥1－(3c)n1，n∈n*.
(ⅲ)設0＜c＜，當n＝1時，a12＝0＞2－，結論成立.
當n≥2時，由（ⅱ）知an≥1－(3c)n1＞0，
∴an2≥[(1－(3c)n1)] 2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1，
a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1]
＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1－1]＝n＋1－＞n＋1－.
【點評】 本題是數列與不等式、數學歸納法的知識交匯題，屬於難題，此類試題在高考中點占有一席之地，複習時應引起注意.本題的第(ⅰ)小題實質也是不等式的證明，
題型三求數列中的最大值問題
求解數列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標函式，通過不等式確定變數範圍，進而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數列的單調性，然後確定最值；(3)利用條件中的不等式關係確定最值.
【例5】 (08·四川高考)設等差數列的前項和為sn，若s4≥10，s5≤15，則a4的最大值為______.
【分析】 根據條件將前4項與前5項和的不等關係轉化為關於首項a1與公差d的不等式，然後利用此不等關係確定公差d的範圍，由此可確定a4的最大值.
【解】 ∵等差數列的前項和為sn，且s4≥10，s5≤15，
∴，即，∴ ，
∴≤a4≤3＋d，則5＋3d≤6＋2d，即d≤1.
∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.
【點評】 本題最值的確定主要是根據條件的不等式關係來求最值的，其中確定數列的公差d是解答的關鍵，同時解答中要注意不等式傳遞性的應用.
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