專題六數列
1、【2015高考重慶，理2】在等差數列中，若=4， =2，則= （ ）
a、-1b、0c、1d、6
【答案】b
【解析】由等差數列的性質得，選b.
【考點定位】本題屬於數列的問題，考查等差數列的通項公式與等差數列的性質.
【名師點晴】本題可以直接利用等差數列的通項公式求解，也可應用等差數列的性質求解，主要考查學生靈活應用基礎知識的能力.是基礎題.
2.【2015高考福建，理8】若是函式的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序後成等差數列，也可適當排序後成等比數列，則的值等於（ ）
a．6 b．7 c．8 d．9
【答案】d
【解析】由韋達定理得，，則，當適當排序後成等比數列時，必為等比中項，故，．當適當排序後成等差數列時，必不是等差中項，當是等差中項時，，解得，；當是等差中項時，，解得，，綜上所述，，所以，選d．
【考點定位】等差中項和等比中項．
【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項和等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心．三個數成等差數列或等比數列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進行討論，屬於難題．
3.【2015高考北京，理6】設是等差數列. 下列結論中正確的是（ ）
a．若，則b．若，則
c．若，則d．若，則
【答案】c
【解析】先分析四個答案支，a舉一反例，而，a錯誤，b舉同樣反例，，而，b錯誤，下面針對c進行研究，是等差數列，若，則設公差為，則，數列各項均為正，由於，則，選c.
考點定位：本題考點為等差數列及作差比較法，以等差數列為載體，考查不等關係問題，重點是對知識本質的考查.
【名師點睛】本題考查等差數列的通項公式和比較法，本題屬於基礎題，由於前兩個選項無法使用公式直接做出判斷，因此學生可以利用舉反例的方法進行排除，這需要學生不能死套公式，要靈活應對，作差法是比較大小常規方法，對判斷第三個選擇只很有效.
4.【2015高考浙江，理3】已知是等差數列，公差不為零，前項和是，若，，成等比數列，則（ ）
a. b. c. d.
【答案】b.
【名師點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，等比數列的概念等知識點，同時考查了學生的運算求
解能力，屬於容易題，將，表示為只與公差有關的表示式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數列與等比數列概念以及相關公式的靈活運用.
5.【2015高考安徽，理14】已知數列是遞增的等比數列，，則數列的前項和等於 .
【答案】
【解析】由題意，，解得或者，而數列是遞增的等比數列，所以，即，所以，因而數列的前項和
.【考點定位】1.等比數列的性質；2.等比數列的前項和公式.
【名師點睛】對於等差數列與等比數列綜合考查的問題，要做到：①熟練掌握等差或等比數列的性質，尤其是，則（等差數列），（等比數列）；②注意題目給定的限制條件，如本題中「遞增」，說明；③要熟練掌握數列中相關的通項公式，前項和公式等.
6.【2015高考新課標2，理16】設是數列的前n項和，且，，則________．
【答案】
【解析】由已知得，兩邊同時除以，得，故數列是以為首項，為公差的等差數列，則，所以．
【考點定位】等差數列和遞推關係．
【名師點睛】本題考查數列遞推式和等差數列通項公式，要搞清楚項與的關係，從而轉化為與的遞推式，並根據等差數列的定義判斷是等差數列，屬於中檔題．
7.【2015高考廣東，理10】在等差數列中，若，則
【答案】．
【解析】因為是等差數列，所以，即，所以，故應填入．
【考點定位】等差數列的性質．
【名師點睛】本題主要考查等差數列性質及其簡單運算和運算求解能力，屬於容易題，解答此題關鍵在於熟記，及其熟練運用．
8.【2015高考陝西，理13】中位數1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為
【答案】
【解析】設數列的首項為，則，所以，故該數列的首項為，所以答案應填：．
【考點定位】等差中項．
【名師點晴】本題主要考查的是等差中項，屬於容易題．解題時一定要抓住重要字眼「中位數」和「等差數列」，否則很容易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是等差中項的概念，即若，，成等差數列，則稱為與的等差中項，即．
9.【2015江蘇高考，11】數列滿足，且（），則數列的前10項和為
【答案】
【考點定位】數列通項，裂項求和
【名師點晴】由數列的遞推公式求通項公式時，若遞推關係為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數列的通項公式，注意：有的問題也可利用構造法，即通過對遞推式的等價變形，轉化為特殊數列求通項．數列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，併項求和法等，可根據通項特點進行選用.
10.【2015江蘇高考，20】（本小題滿分16分）
設是各項為正數且公差為d的等差數列
（1）證明：依次成等比數列；
（2）是否存在，使得依次成等比數列，並說明理由；
（3）是否存在及正整數，使得依次成等比數列，並說
明理由.
【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在
【解析】
試題分析（1）根據等比數列定義只需驗證每一項與前一項的比值都為同乙個不為零的常數即可（2）本題列式簡單，變形較難，首先令將二元問題轉化為一元，再分別求解兩個高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，無解，所以不存在（3）同（2）先令將二元問題轉化為一元，為降次，所以兩邊取對數，消去n,k得到關於t的一元方程，從而將方程的解轉化為研究函式零點情況，這個函式需要利用二次求導才可確定其在上無零點
試題解析：（1）證明：因為（，，）是同乙個常數，
所以，，，依次構成等比數列．
（2）令，則，，，分別為，，，（，，）．
假設存在，，使得，，，依次構成等比數列，
則，且．
令，則，且（，），
化簡得（），且．將代入（）式，
，則．顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設不成立，
因此不存在，，使得，，，依次構成等比數列．
（3）假設存在，及正整數，，使得，，，依次構成等比數列，
則，且．
分別在兩個等式的兩邊同除以及，並令（，），
則，且．
將上述兩個等式兩邊取對數，得，
且．化簡得，
且．令，則．
由，，知，，，在和上均單調．
故只有唯一零點，即方程（）只有唯一解，故假設不成立．
所以不存在，及正整數，，使得，，，依次構成等比數列．
【考點定位】等差、等比數列的定義及性質，函式與方程
【名師點晴】解決等差數列與等比數列的綜合問題，關鍵是理清兩個數列的關係．如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，要把成等差數列或等比數列的項抽出來單獨研究；如果兩個數列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數列分割開，弄清兩個數列各自的特徵，再進行求解．
11.【2015高考浙江，理20】已知數列滿足=且=-（）
（1）證明：1（）；
（2）設數列的前項和為，證明（）.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
試題分析：（1）首先根據遞推公式可得，再由遞推公式變形可知
，從而得證；（2）由和得，
，從而可得，即可得證.
試題解析：（1）由題意得，，即，，由
得，由得，
，即；（2）由題意得，
∴①，由和得，，
∴，因此②，由①②得
.【考點定位】數列與不等式結合綜合題.
【名師點睛】本題主要考查了數列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬於較難題，第一小問易證，利
用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結合已知條件即可得證，第二小
問具有較強的技巧性，首先根據遞推公式將轉化為只與有關的表示式，再結合已知條件得到的
取值範圍即可得證，此次數列自2023年之後作為解答題壓軸題重出江湖，算是乙個不大不小的冷門（之
前浙江各地的模考解答題壓軸題基本都是以二次函式為背景的函式綜合題），由於數列綜合題常與不等式，
函式的最值，歸納猜想，分類討論等數學思想相結合，技巧性比較強，需要平時一定量的訓練與積累，在
後續複習時應予以關注.
12.【2015高考山東，理18】設數列的前n項和為.已知.
（i）求的通項公式；
（ii）若數列滿足，求的前n項和.
【答案】（i）; （ii）.
所以 當時，
所以兩式相減，得
所以經檢驗， 時也適合，
綜上可得：
【考點定位】1、數列前項和與通項的關係；2、特殊數列的求和問題.
【名師點睛】本題考查了數列的基本概念與運算，意在考查學生的邏輯思維能力與運算求解能力，思維的嚴密性和運算的準確性，在利用與通項的關係求的過程中，一定要注意的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學生的運算能力提出了較高的要求.
13. 【2015高考安徽，理18】設，是曲線在點處的切線與x軸交點的橫座標.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）記，證明.
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
試題分析：（ⅰ）對題中所給曲線的解析式進行求導，得出曲線在點處的切線斜率為.從而可以寫出切線方程為.令.解得切線與軸交點的橫座標.
（ⅱ）要證，需考慮通項，通過適當放縮能夠使得每項相消即可證明.思路如下：先表示出，求出初始條件當時，.當時，單獨考慮，並放縮得，所以
，綜上可得對任意的，均有.
試題解析：（ⅰ）解：，曲線在點處的切線斜率為.
從而切線方程為.令，解得切線與軸交點的橫座標.
（ⅱ）證：由題設和（ⅰ）中的計算結果知
.當時，.
當時，因為，
所以.綜上可得對任意的，均有.
【考點定位】1.曲線的切線方程；2.數列的通項公式；3.放縮法證明不等式.
【名師點睛】數列是特殊的函式，不等式是深刻認識函式與數列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點，且數列的重心已經偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項，此類問題在2023年、2023年、2023年安徽高考解答題中都曾考過.對於數列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進行證明的，一般有兩種型別：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮後才能求和（或求積），求和（或求積）後再進行放縮.
在後一種型別中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項開始放縮.
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