2023年高考數學（文）真題分類彙編：推理與證明
m1 合情推理與演繹推理
16．[2014·福建卷] 已知集合＝，且下列三個關係：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有乙個正確，則100a＋10b＋c等於________．
16．201
14．[2014·全國新課標卷ⅰ] 甲乙丙三位同學被問到是否去過a，b，c三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過b城市．乙說：我沒去過c城市．丙說：我們三人去過同一城市．
由此可判斷乙去過的城市為________．
14．a
14．[2014·陝西卷] 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈n＋，則f2014(x)的表示式為________．
14.m2 直接證明與間接證明
21．[2014·湖南卷] 已知函式f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．
(1)求f(x)的單調區間；
(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(i∈n*)個零點，證明：對一切n∈n*，有＋＋…＋＜.
21．解： (1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈n*)．
當x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈n)時，sin x>0，此時f′(x)<0;
當x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈n)時，sin x<0，此時f′(x)>0.
故f(x)的單調遞減區間為(2kπ，(2k＋1)π)(k∈n)，單調遞增區間為((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈n)．
(2)由(1)知，f(x)在區間(0，π)上單調遞減．又f＝0，故x1＝.
當n∈n*時，因為
f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，
且函式f(x)的影象是連續不斷的，所以f(x)在區間(nπ，(n＋1)π)內至少存在乙個零點．又f(x)在區間(nπ，(n＋1)π)上是單調的，故
nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.
因此，當n＝1時，＝＜；
當n＝2時，＋＜(4＋1)＜；
當n≥3時，
＋＋…＋<
＜＜＝＜＜.
綜上所述，對一切n∈n*，＋＋…＋＜.
m3 數學歸納法
23．[2014·江蘇卷] 已知函式f0(x)＝(x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數，n∈n*.
(1)求2f1＋f2的值；
(2)證明：對任意的n∈n*，等式＝都成立．
23．解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，
於是f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝
－－＋，
所以f1＝－，f2＝－＋.
故2f1＋f2＝－1.
(2)證明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，
即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin.
類似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
下面用數學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin對所有的n∈n*都成立．
(i)當n＝1時，由上可知等式成立．
(ii)假設當n＝k時等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.
因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
′＝cos·′＝sin，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin，
因此當n＝k＋1時，等式也成立．
綜合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin對所有的n∈n*都成立．
令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin (n∈n*)，
所以＝ (n∈n*)．
m4 單元綜合
2023年高考數學 文 真題分類彙編 M單元推理與證明
數學m單元推理與證明 m1 合情推理與演繹推理 16 2014 福建卷 已知集合 且下列三個關係 a 2 b 2 c 0有且只有乙個正確，則100a 10b c等於 16 201 14 2014 全國新課標卷 甲 乙 丙三位同學被問到是否去過a，b，c三個城市時，甲說 我去過的城市比乙多，但沒去過b...
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17 2014 新課標全國卷 如圖所示，用橡皮筋將一小球懸掛在小車的架子上，系統處於平衡狀態 現使小車從靜止開始向左加速，加速度從零開始逐漸增大到某一值，然後保持此值，小球穩定地偏離豎直方向某一角度 橡皮筋在彈性限度內 與穩定在豎直位置時相比，小球的高度 a 一定公升高 b 一定降低 c 保持不變 ...