數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數列與不等式知識解決問題的能力．本文介紹一類與數列和有關的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．
一．先求和後放縮
例1．正數數列的前項的和，滿足，試求：
（1）數列的通項公式；
（2）設，數列的前項的和為，求證：
解：（1）由已知得，時，，作差得：，所以，又因為為正數數列，所以，即是公差為2的等差數列，由，得，所以
（2），所以
注：一般先分析數列的通項公式．如果此數列的前項和能直接求和或者通過變形後求和，則採用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數列（這裡所謂的差比數列，即指數列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和．
二．先放縮再求和
1．放縮後成等差數列，再求和
例2．已知各項均為正數的數列的前項和為,且.
(1) 求證：；
(2) 求證：
解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得
∴所以，，
所以（2）因為，所以，所以
2．放縮後成等比數列，再求和
例3．（1）設,證明：；
（2）等比數列中，，前項的和為，且成等差數列．設，數列前項的和為,證明：
解：（1）當為奇數時，,於是，．
當為偶數時，，且，於是
（2）∵，，，
∴公比．
∴．． 所以
． 3．放縮後為差比數列，再求和
例4．已知數列滿足：，．
求證：證明：因為，所以與同號，又因為，所以，
即，即．所以數列為遞增數列，所以，
即，累加得：
．令，所以，兩式相減得：
，所以，所以，
故得．4．放縮後為裂項相消，再求和
例5．在m（m≥2）個不同數的排列p1p2…pn中，若1≤i＜j≤m時pi＞pj（即前面某數大於後面某數），則稱pi與pj構成乙個逆序. 乙個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為，如排列21的逆序數，排列321的逆序數．
（1）求，並寫出的表示式；
（2）令，證明，
解（1）由已知得，
.（2）因為
，所以.
又因為，
所以=.
綜上，.
注：常用放縮的結論：（1）
（2）．
在解題時朝著什麼方向進行放縮，是解題的關鍵，一般要看證明的結果是什麼形式．如例２要證明的結論、為等差數列求和結果的型別，則把通項放縮為等差數列，再求和即可；如例3要證明的結論為等比數列求和結果的型別，則把通項放縮為等比數列，再求和即可；如例4要證明的結論為差比數列求和結果的型別，則把通項放縮為差比數列，再求和即可；如例5要證明的結論為裂項相消求和結果的型別，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可．
雖然證明與數列和有關的不等式問題是高中數學中比較困難的問題，但是我們通過仔細分析它的條件與要證明的結論之間的內在關係，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項朝什麼方向進行放縮．如果我們平時能多觀測要證明結論的特徵與數列求和之間的關係，則仍然容易找到解決這類問題的突破口．
高考題展示：
例1（2023年全國卷i）設數列的前項的和
， （ⅰ）求首項與通項；（ⅱ）設，，證明：
解：易求 （其中n為正整數）
所以：例2（2023年福建卷）已知數列滿足
（i）求數列的通項公式；
（ii）證明：
解：（i）易求
（ii）證明：
點評：兩個高考題向我們說明了數列求和中不等關係證明的兩種方法：1.每一項轉化為兩項差，求和後消去中間項（裂項法）與放縮法的結合；2.用放縮法轉化為等比數列求和。
例3 已知數列中，證明：
放縮一：
＝點評：此種放縮為常規法，學生很容易想到，但需要保留前5項，從第6項開始放大，才能達到證題目的，這一點學生往往又想不到，或因意志力不堅強而放棄。需要保留前5項，說明放大的程度過大，能不能作一下調節？
放縮二：
點評：此種方法放大幅度較（一）小，更接近於原式，只需保留前2項，從第3項開始放大，能較容易想到，還能再進一步逼近原式？
放縮三：
本題點評：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動的項數也隨著發生變化，放縮程度越小，精確度越高，保留不動的項數就越少，運算越簡單，因此，用放縮法解題時，放縮後的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩。
例4.已知數列中，求證：
方法一：
方法二：
點評：方法一用的是放縮法後用裂項法求和；方法二是通過放縮轉化為等比數列求和，從數值上看方法二較方法一最後結果的精確度高，但都沒超過要證明的結果3。
例5.設數列滿足
證明對於一切正整數n，均有。（證明。略）
例6.已知函式
（1）求的反函式及其定義域；
（2）數列滿足
設，數列的前n項和為sn，試比較與的大小，並證明你的結論。
解 （1）給兩邊平方，整理得 ∵=
∴故，其定域為
（2）∵
∴又， ∴ ∴
又∵則當時，
例7. 數列中，且滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求;
（3）設,，是否存在最大的整數m，使得對任意,均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。
解 （1）由
,可知成等差數列，
（2）由得
∴當時，
當時，故
（3）== (－)
∴∴要使總成立，需恆成立，即。故適合條件的的最大值為7。
例8. 已知函式的最小值為，最大值為，且
（1）求數列的通項公式；
（2）求證：
例9.已知為銳角，且，
函式，數列的首項.
⑴ 求函式的表示式；
⑵ 求證：；
⑶求證：
解：⑴又∵為銳角
⑵ ∵∴都大於0
⑶ ∴
所以∵, , 又∵∴
∴例10. 已知數列滿足
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足，證明：是等差數列；
（ⅲ）證明：
解：（1），
故數列是首項為2，公比為2的等比數列。
， （2），①②
②—①得，即③④
④—③得，即
所以數列是等差數列
（3）設，則
例11. 已知函式,數列滿足,
; 數列滿足,.求證:
（ⅰ）（ⅱ）
（ⅲ）若則當時,.
解：(ⅰ)先用數學歸納法證明,.
（1）當時,由已知得結論成立;
（2）假設當時,結論成立,即.
則當時,
因為時, ,所以在上是增函式.
又在上連續,所以,
即 故當時,結論也成立. 即對於一切正整數都成立.
又由,得,從而.
綜上可知
(ⅱ)建構函式
由,知在上增函式.
又在上連續,所以
因為,所以,即,
從而(ⅲ) 因為,所以, ,
所以—,
由(ⅱ)知:,所以= ,
因為, ,
所以 <<=————.
由兩式可知:.
例12. 已知函式，設正項數列滿足，．
(1)寫出、的值;
(2)試比較與的大小，並說明理由；
(3)設數列滿足=－，記．證明：當時,
解：(1)，因為所以
（2）因為所以
,因為所以與同號，
因為， …，即
（3）當時，
，所以，
所以例13. 在平面直角座標系中，已知三個點列，其中
，滿足向量與向量共線，且點在方向向量為的直線上
（1）試用與表示；
（2）若與兩項中至少有一項是的最小值，試求的取值範圍。
解：又∵在方向向量為的直線上，
（2）∵二次函式是開口向上，對稱軸為的拋物線
又因為在a6與a7兩項中至少有一項是數列的最小項，
∴對稱軸
應該在內,即
例14. 已知，若數列使得
成等差數
列.（1）求的通項;
（2）設若的前項和是，且
解：(1)設的公差為，則
（2），
例15.已知數列中, ,且
(1)試求的值,使得數列是乙個常數數列；
(2)試求的取值範圍,使得對任何自然數都成立
(3)若，設，並以表示數列的前項的和，求證：.
例16. 已知函式，數列滿足：.
（1）求數列的通項公式；（）
（2）記
. ①求；
②設數列的前項和，是否存在實數，對均有成立，若存在，求出實數的範圍；若不存在，請說明理由.（）
例17. 已知函式，數列滿足：，。證明：(1)； (2)。
（i）先用數學歸納法證明
().當時,由已知顯然結論成立；
().假設當時結論成立，即。因為時,所以在上是增函式. 又在上連續,從而
.故時,結論成立。
由()、()可知，對一切正整數都成立。
又因為時，，所以。
綜上所述。
（ii）．設函式，．
由（i）知，當時，，從而
所以在上是增函式. 又在上連續,且所以當時，成立.於是．故。
例18．已知數列的首項滿足，，
(1) 求的通項公式；
(2) 證明：對任意的, ,；
(3) 證明：.
解：(1) ∵，∴，∴，
又，∴是以為首項，為公比的等比數列.
∴，∴.
(2) 由(1)知
∴===
=. ∴原不等式成立.
(3) 由(2)知，對任意的，有
≥++……+=，
∴取=，
則≥=＞.
導數證明數列不等式
已知函式 為常數 曲線在與軸的交點處的切線斜率為.求的值及函式的單調區間 證明 當時，證明 當時，由得.又，所以.所以，由得.所以函式在區間上單調遞減，在區間上單調遞增3 由 1 知.所以，即.令，則.所以在上單調遞增，所以當時，即.首先證明 當時，恒有.找到目標函式是第一步 證明如下 令，則.由 ...
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...