數列與不等式證明專題

複習建議：

1．「巧用性質、減少運算量」在等差、等比數列的計算中非常重要，但用「基本量法」並樹立「目標意識」，「需要什麼，就求什麼」，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與「巧用性質」解題相同的效果

2．歸納——猜想——證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學習這部分知識，對培養學生的邏輯思維能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．

3．解答數列與函式的綜合問題要善於綜合運用函式方程思想、化歸轉化思想等數學思想以及特例分析法，一般遞推法，數列求和及求通項等方法來分析、解決問題．

4．數列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數形結合得到數列的通項公式，然後再利用數列知識和方法求解．

證明方法：（1）先放縮後求和；（2）先求和後放縮 (3)靈活運用

例1．數列

(ⅰ)求並求數列的通項公式；

(ⅱ)設證明：當

分析：本題給出數列相鄰兩項的遞推關係，且要對n分奇偶性。

解: (ⅰ)因為所以

一般地，當時，

＝，即所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此

當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此

故數列的通項公式為

(ⅱ)由(ⅰ)知， ①

②①-②得，

所以要證明當時，成立，只需證明當時，成立.

證法一 (1)當n = 6時，成立.

(2)假設當時不等式成立，即

則當n=k+1時，

由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，

證法二令，則

所以當時，.因此當時，

於是當時，綜上所述，當時，

點評：本題奇偶分類要仔細，第（2）問證明時可採用分析法。

例題2. 已知為銳角，且，函式，

數列的首項.

(1) 求函式的表示式； ⑵ 求證：；

⑶ 求證：

分析：本題是借助函式給出遞推關係，第（2）問的不等式利用了函式的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數列中的不等式的另一種出路。

解：⑴ 又∵為銳角

都大於0

∵, , 又

點評：把複雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

例題3.已知數列滿足

（ⅰ）求數列的通項公式；

（ⅱ）若數列滿足，證明：是等差數列；

（ⅲ）證明：

分析：本例（1）通過把遞推關係式轉化成等比型的數列；第（2）關鍵在於找出連續三項間的關係；第（3）問關鍵在如何放縮解：（1），

故數列是首項為2，公比為2的等比數列。，

（2），

① ②

②—①得，即③ ④

④—③得，即所以數列是等差數列

（3）設，

則點評：數列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對於這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

例題4. 已知函式,數列滿足,

; 數列滿足,.求證:

若則當n≥2時,.

分析：第（1）問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第（2）問可利用函式的單調性；第（3）問進行放縮。解：(ⅰ)先用數學歸納法證明,.

（1）當n=1時,由已知得結論成立;

（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,

因為0又f(x)在上連續,所以f(0)故當n=k+1時,結論也成立. 即對於一切正整數都成立.

又由, 得,從而.

綜上可知

(ⅱ)建構函式g(x)= -f(x)=, 0g(0)=0. 因為,所以,即》0,從而

(ⅲ) 因為,所以, ,

所以由(ⅱ)知:,

所以= , 因為, n≥2,

所以<<=———— 由兩式可知:.

點評：本題是數列、超越函式、導數的學歸納法的知識交匯題，屬於難題，複習時應引起注意。

例題5. 已知函式f(x)=，設正項數列滿足=l，．

(1) 試比較與的大小，並說明理由；

(2) 設數列滿足=－，記sn=．證明：當n≥2時,sn＜(2n－1)．

分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)，因為所以（2）因為所以

, 因為所以與同號，

因為， …，即

（3）當時，，

所以，所以

點評：本題是函式、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。

例題6. 已知數列中，，．

（1）求；（2）求數列的通項；

（3）設數列滿足，求證：

分析：條件中有類似於前n項和的形式出現，提示我們應該考慮an＝sn－sn－1(n≥2)

解：（1）（2） ①

得即：，所以

所以（3）由（2）得：，

所以是單調遞增數列，故要證：只需證

若，則顯然成立; 若，則

所以, 因此：

所以, 所以

點評：與數列相關的不等式證明通常需要「放縮」，而放縮的「度」尤為關鍵，本題中

, 這種拆分方法是數學中較高要求的變形.

例題7. 已知不等式其中為不大於2的整數，表示不超過的最大整數。設數列的各項為正且滿足，證明：，

分析：由條件得：

以上各式兩邊分別相加得：

本題由題設條件直接進行放縮，然後求和，命題即得以證明。

例題8. 已知數列的前項和滿足：，

（1）寫出數列的前三項，，；（2）求數列的通項公式；

（3）證明：對任意的整數，有

分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：（n>1）

化簡得： ,

故數列{}是以為首項, 公比為的等比數列. 故

∴ ∴數列{}的通項公式為：.

⑶觀察要證的不等式，左邊很複雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數列的前n項公式求和，由於-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合併起來一起進行放縮，嘗試知：，，因此，可將保留，再將後面的項兩兩組合後放縮，即可求和。

這裡需要對進行分類討論，（1）當為偶數時，

（2）當是奇數時，為偶數，

所以對任意整數，有。本題的關鍵是並項後進行適當的放縮。

例題9. 定義數列如下：

證明：（1）對於恒有成立。（2）當，有成立。

（3）。

分析：（1）用數學歸納法易證。

（2）由得：

… …

以上各式兩邊分別相乘得：，又

（3）要證不等式，可先設法求和：，

再進行適當的放縮。

又原不等式得證。

點評：本題的關鍵是根據題設條件裂項求和。

數列與不等式證明專題

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導數證明數列不等式

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