鳳凰涅槃訓練
導數專題訓練放縮技巧--不等式證明
一、裂項放縮
例1.(1)求的值2)求證:.
例2.(1)求證:
(2)求證:
(3)求證:
(4) 求證：
例3.求證:
例4.設函式.數列滿足..設，整數.證明:.
例5.已知,求證:.
例6.已知, ,求證:.
例7.已知,
求證:奇巧積累
(12)
(3(4
(56(78)
(9(1011)
(11)
(12(13
(1415)
(15)
二、函式放縮
函式構造形式:,
函式構造形式:
函式構造形式:
函式構造形式:
例8.求證：
例9.求證:(1)
例10.求證:
例11.求證:和
例12.求證:
例13.證明:
例14. 已知證明
例15.已知函式若
例16.已知函式是在上處處可導的函式,若在上恆成立.
()求證：函式上是增函式；
()當；
()已知不等式時恆成立
求證：三、分式放縮
例17. 不等式:和
也可以表示成為和
例18.證明:
4、分類放縮
例19.求證:
例20.在平面直角座標系中,軸正半軸上的點列與曲線（≥0）上的點列滿足，直線在x軸上的截距為.點的橫座標為,.
（1）證明》4，;
（2）證明有，使得對都有<
五、迭代放縮
例21. 已知,求證:當時,
例22. 設,求證:對任意的正整數k,若k≥n恒有:|sn+k－sn|<
六、借助數列遞推關係
例23.求證:
例24. 求證:
例25. 若,求證:
例26.已知數列的前項和滿足證明：對任意的整數，有
例27. 設函式.若對一切，，求的最大值。
例28.設求證
例29.已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：
例30.已知,求證:
例31.已知,求證:
例32.若,求證:.
例33.已知,求證:.
例34.已知函式f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈n*).k是奇數, n∈n*時,
求證: [f』(x)]n－2n－1·f』(xn)≥2n(2n－2).
例35. 已知函式
1）求函式的最小值，並求最小值小於0時的取值範圍；
2）令求證：
例36. 已知函式,.對任意正數,證明：．
例37.求證:
七、二項放縮
例38. 已知證明
例39.設，求證：數列單調遞增且
例40.已知是正整數，且
（1）證明；
（2）證明
例41.已知a+b=1,a>0,b>0,求證：
例42.設，求證.
例43.求證
例44. 已知函式，滿足：
①對任意，都有；
②對任意都有.
（i）試證明：為上的單調增函式；
（ii）求；
（iii）令，試證明：.
例45. 已知函式fx的定義域為[0,1]，且滿足下列條件：
① 對於任意[0,1]，總有，且；
② 若則有
（ⅰ）求f0的值；（ⅱ）求證：fx≤4；
（ⅲ）當時，試證明：.
例46. 已知：
求證：八、積分放縮
利用定積分的保號性比大小
保號性是指定義在上的可積函式，則.
例47.求證：
利用定積分估計和式的上下界
定積分產生和應用的乙個主要背景是計算曲邊梯形的面積，現在用它來估計小矩形的面積和.
①；②；
③；④.
例48 求證：，.
例49. 已知.求證：.
例50 設，如圖，已知直線及曲線：，上的點的橫座標為（）.從上的點作直線平行於軸，交直線於點，再從點作直線平行於軸，交曲線於點.的橫座標構成數列.
（ⅰ）試求與的關係，並求的通項公式；
（ⅱ）當時，證明；
（ⅲ）當時，證明.
九、部分放縮(尾式放縮)
例51.求證:
例52. 設求證：
例53.設數列滿足，當時
證明對所有有；
十、三角不等式的放縮
例54.求證:.
例55.求證:對一切,都有.
例56.已知數列滿足:,求證:
例57已知數列滿足:,求證:.
例58.已知數列, , ,.
記,.求證:當時.(1); (2); (3).
例59.已知數列的首項, ,．
(1)證明:對任意的, ,;
(2)證明:.
例60已知函式.若在區間上的最小值為,
令.求證:.
例61.設函式.如果對任何，都有，求的取值範圍．
例62.若且, ,
求證:例63.已知函式.若對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值範圍.
鳳凰涅槃訓練
導數專題訓練不等式構造以及極值、最值
1.求證：（）
2.求證對任意不小於3的正整數，不等式都成立
3.設，證明：對任意的正實數，都有.
4.設是由個有序實數構成的乙個陣列，記作：.其中稱為陣列的「元」，稱為的下標.
如果陣列中的每個「元」都是來自陣列中不同下標的「元」，則稱為的子陣列. 定義兩個陣列，的關係數為.
（ⅰ）若，，設是的含有兩個「元」的子陣列，求的最大值；
（ⅱ）若，，且，為的含有三個「元」的子陣列，求的最大值；
（ⅲ）若陣列中的「元」滿足.設陣列含有四個「元」，且，求與的所有含有三個「元」的子陣列的關係數的最大值.
5.已知函式,其中，已知,如果存在,使得函式在處取得最小值,試求的最大值.
6.已知
（1）若時，求證成立；
（2）證明：若
7.已知函式f(x)=ax-a/x-2lnx若函式f(x)的影象在x=1處的切線的斜率為0，並且
.若a1≥3，試證明
8.已知函式的定義域為，若在上為增函式，則稱為「一階比增函式」；若在上為增函式，則稱為「二階比增函式」.
我們把所有「一階比增函式」組成的集合記為，所有「二階比增函式」組成的集合記為.
(ⅰ)已知函式，若且，求實數的取值範圍；
(ⅱ)已知，且的部分函式值由下表給出，
求證：；
(ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.
9.已知函式在處取得極值，且在處的切線的斜率為1.
設＞0，＞0，，求證：
10.設函式在兩個極值點，且
證明：11.試比較與的大小.,並證明你的結論.
12.已知函式，，
（1）求函式的極值；
（2）不等式，當時恆成立，求的值；
（3）證明：
13.證明：對任意的正整數n，不等式都成立
14.已知函式的圖象為曲線, 函式的圖象為直線，設直線與曲線的交點的橫座標分別為, 且, 求證:
15.設函式的圖象在點處的切線的斜率為，且函式為偶函式．若函式滿足下列條件：①；②對一切實數，不等式恆成立．
（ⅰ）求函式的表示式；
（ⅱ）求證：
16.已知函式（，），．記，證明：
17.已知函式，其中，a為常數,當時，證明：對任意的正整數n，當時，有
18.已知函式,設=0，，，，其中=1，2，…，
(1)證明：；
(2)證明：
19.已知函式f(x)（x∈r）滿足下列條件：對任意的實數x1、x2都有≤[f(x1)f(x2)]和|f(x1) f(x2)|≤|x1－x2|，其中是大於0的常數，設實數a0，a，b滿足f(a0)=0，b=af(a).
（1）證明（ba0）2≤(12)(aa0)2
（2）證明[f(b)]2≤(1) [f(a)]2
20.令,設，，證明：對，恒有
21.已知函式,當時，求證：對大於1的正整數n，
22.已知定義在上的函式滿足條件：①對任意都有；②對所有非零實數，都有,設，直線分別與函式，相交於，兩點.設（表示，兩點間的距離），為數列的前項和，求證：
23.已知函式,對任意正數a,證明：1＜f（x）＜2．
24.設，，函式，
（1）設不等式的解集為c，當時，求實數取值範圍；
（2）若對任意，都有成立，試求時，的值域；
（3）設 ，求的最小值．
25.已知函式的定義域為，且同時滿足以下①②③三個條件：
①=3；
②對一切恆成立；
③若，則。
試比較與的大小,並證明對一切，都有
26.求函式＝＋（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值
27.已知，，，…，（）．
（ⅰ）請寫出的表示式（不需證明）；
（ⅱ）設的極小值點為，求；
（ⅲ）設， 的最大值為，的最小值為，試求的最小值
27.證明：為自然對數的底數）
28.已知函式,如果函式的影象與軸交於兩點、，且.是的導函式，若正常數滿足.求證：.
29.設函式,若，證明對於任意的，不等式
30 設,函式．若有兩個相異零點,求證: ．
31.已知函式
證明：32.已知函式，為函式的導函式．
（1）若數列滿足：，（），求數列的通項；
（2）若數列滿足：，（）．
①當時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項；若不是，請說明理由；
②當時， 求證：．
33.設函式表示的導函式，，（其中）試證明：對任意正數和正整數，不等式恆成立
參***
1.（法一）根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有， ．
．(法二)當時，．
，，即時命題成立．
設當時，命題成立，即 ．
時，．根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．
因此，由數學歸納法可知不等式成立．
利用導數證明不等式
函式與導數 三 核心考點 五 利用導數證明不等式 一 函式類不等式證明 函式類不等式證明的通法可概括為 證明不等式 的問題轉化為證明 進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值 最大值 大於或等於零 小於或等於零 例1 已知函式 1 討論函式的單調性 2 設，證明 當時，3 若...
利用導數證明不等式
在 上為增函式，f x 對 恆成立，即 對 恆成立 記則1 x e x，當 時，當 時，知 在 1 上為增函式,在 1,上為減函式,g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x ...
導數證明數列不等式
已知函式 為常數 曲線在與軸的交點處的切線斜率為.求的值及函式的單調區間 證明 當時，證明 當時，由得.又，所以.所以，由得.所以函式在區間上單調遞減，在區間上單調遞增3 由 1 知.所以，即.令，則.所以在上單調遞增，所以當時，即.首先證明 當時，恒有.找到目標函式是第一步 證明如下 令，則.由 ...