第三課時利用導數證明不等式專題
【選題明細表】
1.證明:當x∈[0,1]時,x≤sin x≤x.
證明:設f(x)=sin x-x,
則f′(x)=cos x-.
當x∈(0,)時,f′(x)>0,f(x)在[0,]上是增函式;
當x∈(,1)時,f′(x)<0,f(x)在[,1]上是減函式.
又f(0)=0,f(1)>0,所以當x∈[0,1]時,f(x)≥0,
即sin x≥x.
記h(x)=sin x-x,
則當x∈(0,1)時,h′(x)=cos x-1<0,
所以h(x)在[0,1]上是減函式,
則h(x)≤h(0)=0,即sin x≤x.
綜上,x≤sin x≤x,x∈[0,1].
2.已知函式f(x)=x2-aln x(a∈r).
(1)若f(x)在x=2時取得極值,求a的值;
(2)求f(x)的單調區間;
(3)求證:當x>1時,x2+ln x(1)解:f′(x)=x-,
因為x=2是乙個極值點,
所以2-=0,則a=4.
此時f′(x)=x-=,
因為f(x)的定義域是(0,+∞),
所以當x∈(0,2)時,f′(x)<0;
當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,
所以當a=4時,x=2是極小值點,
所以a=4.
(2)解:因為f′(x)=x-=(x∈(0,+∞)),
所以當a≤0時,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).
當a>0時,f′(x)==,
所以函式f(x)的單調遞增區間是(,+∞),單調遞減區間為(0,).
(3)證明:設g(x)=x3-x2-ln x,
則g′(x)=2x2-x-,
因為當x>1時,g′(x)=>0,
所以g(x)在x∈(1,+∞)上是增函式,
所以g(x)>g(1)=>0,
所以當x>1時,x2+ln x3.已知函式f(x)=+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)證明:當x>0,且x≠1時,f(x)>.
(1)解:f′(x)=-.
由於切線x+2y-3=0的斜率為-,且過點(1,1).
故即解得a=1,b=1.
(2)證明:由(1)知f(x)=+,
所以f(x)-=(2ln x-).
令函式h(x)=2ln x-(x>0),
則h′(x)=-=.
所以當x≠1時,h′(x)<0.而h(1)=0,
故當x∈(0,1)時,h(x)>0,
可得h(x)>0;
當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,
可得h(x)>0.
從而當x>0,且x≠1時,f(x)->0,
即f(x)>.
4.(2015高考天津卷)已知函式f(x)=4x-x4,x∈r.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為p,曲線在點p處的切線方程為y=g(x).求證:對於任意的實數x,都有f(x)≤g(x);
(3)若方程f(x)=a(a為實數)有兩個實數根x1,x2,且x1(1)解:由f(x)=4x-x4,可得f′(x)=4-4x3.
當f′(x)>0,即x<1時,函式f(x)單調遞增;
當f′(x)<0,即x>1時,函式f(x)單調遞減;
所以,f(x)的單調遞增區間為(-∞,1),單調遞減區間為(1,+∞).
(2)證明:設點p的座標為(x0,0),則x0=,f′(x0)=-12.曲線y=f(x)在點p處的切線方程為y=f′(x0)(x-x0),即g(x)=f′(x0)(x-x0).
令函式f(x)=f(x)-g(x),
即f(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),
則f′(x)=f′(x)-f′(x0).
由於f′(x)=-4x3+4在(-∞,+∞)上單調遞減,
故f′(x)在(-∞,+∞)上單調遞減.
又因為f′(x0)=0,所以當x∈(-∞,x0)時,f′(x)>0,當x∈(x0,+∞)時,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,x0)上單調遞增,在(x0,+∞)上單調遞減,所以對於任意的實數x,f(x)≤f(x0)=0,即對於任意的實數x,都有f(x)≤g(x).
(3)證明:由(2)知g(x)=-12(x-).設方程g(x)=a的根為x′2,可得
x′2=-+.
因為g(x)在(-∞,+∞)上單調遞減,
又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x′2),因此x2≤x′2.
類似地,設曲線y=f(x)在原點處的切線方程為y=h(x),可得h(x)=4x,對於任意的x∈(-∞,+∞),有f(x)-h(x)=-x4≤0,即f(x)≤h(x).
設方程h(x)=a的根為x′1,可得x′1=.因為h(x)=4x在(-∞,+∞)上單調遞增,且h(x′1)=a=f(x1)≤h(x1),因此x′1≤x1.
因此可得x2-x1≤x′2-x′1=-+.
5.已知a∈r,函式f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)證明:當0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.
解:(1)由題意得f′(x)=12x2-2a.
當a≤0時,f′(x)≥0恆成立,此時f(x)的單調遞增區間為(-∞,
+∞).
當a>0時,f′(x)=12(x-)(x+),
此時函式f(x)的單調遞增區間為(-∞,-]和[,+∞),單調遞減區間為[-,].
(2)由於0≤x≤1,故當a≤2時,f(x)+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.
當a>2時,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.
設g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,
則g′(x)=6x2-2=6(x-)(x+),於是g′(x),g(x)隨x的變化情況
如表所以,g(x)min=g()=1->0.
所以當0≤x≤1時,2x3-2x+1>0.
故f(x)+|2-a|≥4x3-4x+2>0.
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