一、選擇題
1．命題「對於任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ」的證明：「cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ」過程應用了( )
a．分析法 b．綜合法
c．綜合法、分析法綜合使用 d．間接證明法
解析：因為證明過程是「從左往右」，即由條件結論．
答案：b
2．若a，b∈r，則下面四個式子中恆成立的是( )
a．lg(1＋a2)>0
b．a2＋b2≥2(a－b－1)
c．a2＋3ab>2b2
d. <
解析：在b項中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恆成立．
答案：b
3．在△abc中，sinasinca．銳角三角形 b．直角三角形
c．鈍角三角形 d．不確定
解析：由sinasinccosacosc－sinasinc>0，
即cos(a＋c)>0，∴a＋c是銳角，
從而b>，故△abc必是鈍角三角形．
答案：c
4．設a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，a③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．
其中正確判斷的個數為( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個．
答案：c
5．若p＝＋，q＝＋(a≥0)，則p，q的大小關係為( )
a．p>q b．p＝q
c．p解析：假設p只要證2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只要證a2＋7a只要證0<12，
∵0<12成立，∴p答案：c
6．設函式f(x)是定義在r上的以3為週期的奇函式，若f(1)>1，f(2)＝，則a的取值範圍是( )
a．a< b．a《且a≠－1
c．a>或a<－1 d．－1解析：∵f(x)以3為週期，所以f(2)＝f(－1)，
又f(x)是r上的奇函式，
∴f(－1)＝－f(1)，則f(2)＝f(－1)＝－f(1)，
再由f(1)>1，可得f(2)<－1，
即<－1，解得－1答案：d
二、填空題
7．設a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關係為________．
解析：a＝＋2，b＝2＋兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，顯然， <.∴a答案：
a8．用反證法證明命題「若實數a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有乙個是非負數」時，第一步要假設結論的否定成立，那麼結論的否定是
解析：「至少有乙個」的否定是「乙個也沒有」，故結論的否定是「a，b，c，d中沒有乙個是非負數，即a，b，c，d全是負數」．
答案：a，b，c，d全是負數
9．設a、b是兩個實數，給出下列條件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：「a、b中至少有乙個大於1」的條件是________(填序號)．
解析：若a＝，b＝，則a＋b>1.
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對於③，即若a＋b>2，則a、b中至少有乙個大於1.
反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，
故a、b中至少有乙個大於1.
答案：③
三、解答題
10．若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求證：＋<＋.
證明：要證＋<＋，只需證(＋)2<(＋)2，即a＋d＋211．已知函式y＝f(x)是r上的增函式．
(1)若a，b∈r且a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋
f(－b)；
(2)寫出(1)中的命題的逆命題，判斷真假並證明你的結論．
解：(1)∵函式y＝f(x)是r上的增函式，
又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命題：若a、b∈r，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.真命題．
證明如下：
假設a＋b<0，∵y＝f(x)是r上的增函式，
∴當a<－b時，f(a)當b<－a時，f(b)∴f(a)＋f(b)∴a＋b<0不成立．∴a＋b≥0.
1．若f(x)的定義域為[a，b]，值域為[a，b](a(1)設g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的「四維光軍」函式，求常數b的值；
(2)是否存在常數a，b(a>－2)，使函式h(x)＝是區間[a，b]上的「四維光軍」函式？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其圖象的對稱軸為x＝1，區間[1，b]在對稱軸的右邊，
所以函式在區間[1，b]上單調遞增．
由「四維光軍」函式的定義可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因為b>1，所以b＝3.
(2)假如函式h(x)＝在區間[a，b](a>－2)上是「四維光軍」函式，
因為h(x)＝在區間(－2，＋∞)上單調遞減，
所以有即
解得a＝b，這與已知矛盾，故不存在．
2．(2015·安徽卷)設n∈n*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1，2)處的切線與x軸交點的橫座標．
(1)求數列的通項公式；
(2)記tn＝xx…x，證明：tn≥.
解：(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1，2)處的切線斜率為2n＋2.
從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)．
令y＝0，解得切線與x軸交點的橫座標xn＝1－＝.
所以的通項公式xn＝.
(2)由題設和(1)中的計算結果知
tn＝xx…x＝….
當n＝1時，t1＝.
當n≥2時，因為x＝＝>＝＝，
所以tn>×××…×＝.
綜上可得對任意的n∈n*.均有tn≥.
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