題型一：綜合法
【例1】若,則下列結論不正確的是
【例2】如果數列是等差數列，則（ ）。
（a） （b）
（c） （d）
【例3】在△abc中若,則a等於( )
(a) (b) (c) (d)
【例4】下列四個命題：①若,則;②若,則;③若x、yr，滿足,則的最小值是；④若a、br，則。其中正確的是（ ）。
(abcd) ①②③④
【例5】下面的四個不等式其中不成立的有
（a）1個 （b）2個 （c）3個 （d）4個
【例6】已知且，則在①；②；
③；④這四個式子中，恆成立的個數是 （ ）
a 1個 b 2個 c 3個 d 4個
【例7】已知均大於1，且，則下列各式中，一定正確的是
a b c d
【例8】已知不等式對任意正實數x，y恆成立，則正實數a的最小值是（ ）
a．2 b．4 c．6 d．8
【例9】、為銳角，，則a、b之間關係為
ab． cd．不確定
【例10】設m是內一點，且，，定義，其中m、n、p分別是，，的面積，若，則的最小值是
a．8b．9 c．16 d．18
【例11】若函式是偶函式，則，（a∈r）的大小關係是 .
【例12】設
【例13】函式在（0，2）上是增函式，函式是偶函式，則, ,的大小關係是
【例14】已知，向量的夾角為，則=
【例15】定義運算，例如，，則函式的最大值為．
【例16】若，，且恆成立，則的最大值是 。
【例17】已知集合m是滿足下列條件的函式f（x）的全體：
①當時，函式值為非負實數；
②對於任意的，都有
在三個函式中，屬於集合m的是 。
【例18】給出下列四個命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若，，且，則的最小值為9.
其中正確命題的序號是把你認為正確命題的序號都填上）
【例19】如圖，在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中，當底面四邊形abcd滿足條件 （或任何能推導出這個條件的其他條件，例如abcd是正方形、菱形等）時，有a1c⊥b1d1（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）
【例20】用一根長為12m的鋁合金條做成乙個「目」字形窗戶的框架(不計損耗)，要使這個窗戶通過的陽光最充足，則框架的長與寬應為
【例21】若，求證：．
【例22】若，求證：
【例23】已知a，b，c是全不相等的正實數，求證
【例24】證明：已知：，求證：
【例25】已知求的最大值。
【例26】設，求證：．
【例27】某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則噸．
【例28】在銳角三角形中,求證:
題型二：分析法
【例29】設，，，則x與y的大小關係為（ ）。
（a）； （b）； （c）； （d）
【例30】已知，則正確的結論是（ ）。
(a) (b) (cd)a、b大小不定
【例31】設a、b、m都是正整數，且a＜b，則下列不等式中恆不成立的是（ ）。
(ab)
(dd)
【例32】已知，且，則不能等於（ ）。
(a)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (b)
(c)n（n+1d)n（n+1）f（1）
【例33】的大小關係是
【例34】在十進位制中，那麼在5進製中數碼2004折合成十進位制為
【例35】設，那麼p, q, r的大小順序是
【例36】有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：「是乙或丙獲獎。」乙說：
「甲、丙都未獲獎。」丙說：「我獲獎了。
」丁說：「是乙獲獎。」四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是
【例37】若是△的三邊長，求證：
【例38】△abc的三個內角a、b、c成等差數列，
求證：。
【例39】用分析法證明：若a>0，則。
【例40】設若函式與的圖象關於軸對稱，求證為偶函式。
【例41】自然狀態下魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從巨集觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用表示某魚群在第年年初的總量，，且＞0.不考慮其它因素，設在第年內魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例係數依次為正常數.
（ⅰ）求與的關係式；
（ⅱ）猜測：當且僅當，滿足什麼條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
【例42】設函式.
（1）證明：；
（2）設為的乙個極值點，證明.
【例43】已知二次函式,
（1）若且,證明:的影象與x軸有兩個相異交點;
（2）證明: 若對, , 且，,則方程必有一實根在區間 (,) 內;
（3）在(1)的條件下,是否存在,使成立時,為正數.
題型三：反證法
【例44】下列表中的對數值有且僅有乙個是錯誤的：
請將錯誤的乙個改正為
【例45】用反證法證明命題：「三角形的內角中至少有乙個不大於60度」時，反設正確的是（ ）
( a ) 假設三內角都不大於60°； (b) 假設三內角都大於60°；
(c) 假設三內角至多有乙個大於60°； (d) 假設三內角至多有兩個大於60°。
【例46】已知＝2，關於p＋q的取值範圍的說法正確的是
（a）一定不大於2b）一定不大於
（c）一定不小於d）一定不小於2
【例47】否定結論「至多有兩個解」的說法中，正確的是 ( )
（a）有乙個解 （b）有兩個解 （c）至少有三個解 （d）至少有兩個解
【例48】設大於0，則3個數：，，的值 ( )
（a）都大於2 （b）至少有乙個不大於2
（c）都小於2 （d）至少有乙個不小於2
【例49】已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b為異面直線，則 ( )
（a） a、b都與l相交b） a、b中至少一條與l相交
（c） a、b中至多有一條與l相交 （d） a、b都與l相交
【例50】用反證法證明命題:「三角形的內角中至少有乙個不大於60°」時,反設正確的是（ ）
a、假設三內角都不大於60度； b、 假設三內角都大於60度；
c、假設三內角至多有乙個大於60度；d、 假設三內角至多有兩個大於60度。
【例51】命題「關於x的方程的解是唯一的」的結論的否定是
a、無解 b、兩解 c、至少兩解 d、無解或至少兩解
【例52】用反證法證明命題「如果那麼」時，假設的內容應為
【例53】用反證法證明「，求證：中至少有乙個不小於」時的假設為
【例54】用反證法證明「若＞0，則」時的假設為
【例55】用反證法證明命題「可以被5整除，那麼中至少有乙個能被5整除。」那麼假設的內容是
【例56】證明：不能為同一等差數列的三項.
【例57】對於直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實數k，使得l與雙曲線c：3x－y=1的交點a、b關於直線y=ax（a為常數）對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。
【例58】已知，求證：
【例59】若均為實數，且。
求證：中至少有乙個大於0。
【例60】求證：形如的正整數不能寫成兩個整數的平方和
【例61】若、，
(1)求證：；
(2)令，寫出、、、的值，觀察並歸納出這個數列的通項公式；
(3)證明：存在不等於零的常數p，使是等比數列，並求出公比q的值.
【例62】設，函式在上是單調函式.
（1）求實數的取值範圍；
（2）設≥1，≥1，且，求證：.
【例63】設集合由滿足下列兩個條件的數列構成：
①；②存在實數，使．（為正整數）
⑴在只有項的有限數列，中，其中；
；試判斷數列是否為集合的元素；
⑵設是各項為正的等比數列，是其前項和，，，
證明數列；並寫出的取值範圍；
⑶設數列且對滿足條件的的最小值，都有．
求證：數列單調遞增．
【例64】設是定義在上的函式，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函式，為峰點，包含峰點的區間為含峰區間. 對任意的上的單峰函式，下面研究縮短其含峰區間長度的方法.
（1）證明：對任意的，，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；
（2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區間的長度不大於；
（3）選取，，由（1）可確定含峰區間或，在所得的含峰區間內選取，由與或與類似地可確定乙個新的含峰區間.在第一次確定的含峰區間為的情況下，試確定，的值，滿足兩兩之差的絕對值不小於0.02,且使新的含峰區間的長度縮短到0.
34.（區間長度等於區間的右端點與左端點之差）
【例65】已知數列滿足：，，；數列滿足：
．⑴求數列，的通項公式；
⑵證明：數列中的任意三項不可能成等差數列．
221推理與證明直接證明與間接證明
2.1.1直接證明與間接證明 1 直接證明 1 綜合法是由原因推導到結果的證明方法，它是利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立的證明方法 2 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判斷乙個明顯成立的...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...