青島理工大學附中三維設計2023年高考數學一輪複習：推理與證明
本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題 (本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．乙個質點從出發依次沿圖中線段到達、、、、、、、、各點，最後又回到（如圖所示），其中：，，．欲知此質點所走路程，至少需要測量條線段的長度，則( )
a．2 b．3 c．4 d．5
【答案】b
2．已知a ,b ,m∈r ，則下面推理中正確的是( )
a．a>b b．
c． d．
【答案】c
3．如圖，座標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：
1，2，3，4，5，6的橫縱座標分別對應數列的
前12項，如下表所示：
按如此規律下去，則( )
a．1003 b．1005 c．1006 d．2011
【答案】b
4．設a、b是兩個實數，給出的下列條件中能推出「a、b中至少有乙個數大於1」的條件是( )
①a＋b＞1 ②a＋b＝2 ③a＋b＞2 ④a2＋b2＞2 ⑤ab＞1
a．②③ b．③⑤ c．③④ d．③
【答案】d
5．記i為虛數集，設，，。則下列模擬所得的結論正確的是( )
a．由，模擬得
b．由，模擬得
c．由，模擬得
d．由，模擬得
【答案】c
6．已知，，…，，則可推測實數a，b的值分別為( )
a．6,35 b．6,17 c．5,24 d．5,35
【答案】a
7．如圖，第n個圖形是由正n+2邊形「擴充套件」而來，(n=1、2、3、…),則在第n個圖形中共有（ ）個頂點。
a．(n+1)(n+2)
b． (n+2)(n+3)
c． d． n
【答案】b
8．給出定義：若函式在上可導，即存在，且導函式在上也可導，則稱在上存在二階導函式，記＝.若在上恆成立，則稱在上為凸函式. 以下四個函式在上不是凸函式的是( )
a． b．
c．- d．-.
【答案】d
9．集合，若將集合a中的數按從小到大排成數列，則有，，，，……依此類推，將數列依次排成如圖所示的三角形數陣，則第六行第三個數為( )
a．247 b．735 c．733 d．731
【答案】c
10．有一段演繹推理是這樣的：「直線平行於平面,則平行於平面內所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線」的結論顯然是錯誤的，這是因為( )
a．大前提錯誤
b．小前提錯誤 c．推理形式錯誤 d．非以上錯誤
【答案】a
11．，經計算得f(32)>．推測：當n≥2時，有( )
a．f(2n－1)> b．f(2n)> c．f(2n)> d．f(2n－1)>
【答案】b
12．我國古代數學名著《九章算術》中「開立圓術」曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．「開立圓術」相當於給出了已知球的體積，求其直徑的乙個近似公式。人們還用過一些類似的近似公式．根據判斷，下列近似公式中最精確的乙個是( )
a． b． c． d．
【答案】d
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題 (本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．若不等式對於任意正整數恆成立，則實數的取值範圍是 ．
【答案】
14．設的個位數字是
【答案】7
15．若數列是等差數列，則有：（其中是互不相等的正整數）。模擬上述性質，寫出等比數列的乙個性質：對等比數列，有
【答案】（其中是互不相等的正整數）。
16．將全體正整數排成乙個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行從左向右的第3個數為
【答案】
三、解答題 (本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．已知a，b，c均為實數，且，，，求證：a，b，c中至少有乙個大於0.
【答案】假設a，b，c都不大於，即a≤0，b≤0，c≤0，得a+b+c≤0，
而a+b+c=(x－1)2+(y－1)2+(z－1)2+π－3>0，
即a+b+c>0，與a+b+c≤0矛盾，故假設a，b，c都不大於是錯誤的，
所以a，b，c中至少有乙個大於0.
18．已知四邊形abcd是圓內接四邊形，直線ac,bd相交於p點，並且＝．設e為ac的中點.求證：＝．
【答案】由托勒密定理，得ab×cd＋ad×bc＝ac×bd.因為ab×cd＝ad×bc，ae＝ec，所以有2ab×cd＝2ae×bd＝2ec×bd，即有ab×cd＝ae×bd＝ec×bd.在△ced與△bad中，因為∠abd＝∠ecd，ab×cd＝ec×bd，故△ced∽△bad，從而有∠ced＝∠bad.
同理可得△abe∽△dbc，∠aeb＝∠dcb.於是得到∠aeb＝∠dcb＝180°－∠bad＝180°－∠ced＝∠aed，此即ep平分∠bed.因此由角平分線定理，得
19．已知實數滿足，，求證中至少有乙個是負數．
【答案】假設都是非負實數，因為，
所以，所以，，
所以，這與已知相矛盾，所以原假設不成立，即證得中至少有乙個是負數．
20．用反證法證明：如果，那麼.
【答案】假設，則容易看出，下面證明.要證明：成立，只需證：成立，只需證：成立，上式顯然成立，故有成立. 綜上，，與已知條件矛盾.因此，
21．求證：（是互不相等的實數），三條拋物線至少有一條與軸有兩個交點．
【答案】假設這三條拋物線全部與x軸只有乙個交點或沒有交點，則有
三式相加，得a2+b2+c2－ab－ac－bc≤0
(a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0．
∴a=b=c與已知a，b，c是互不相等的實數矛盾，
∴這三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．
22．通過計算可得下列等式：
22-12=2×1+1
32-22=2×2+1
42-32=2×3+1
……(n+1）2-n2=2×n+1
將以上各式分別相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n
即：1+2+3+…+n=
模擬上述求法：請你求出12+22+32+…+n2的值.
【答案】證明：23-13=3×12+3×1+1，
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32+3×3+1
……(n+1）3-n3=3×n2+1+3×n+1
將以上各式分別相加得：（n+1）3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×（1+2+3…+n）+n（6分）.
∴12+22+32+…+n2
= [(n+1)3-1-n-3n]
=n(n+1)(2n+1) .
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