第二章推理與證明
2．1 合情推理與演繹推理
2．1．1 合情推理
典型例題
例1 觀察下列數的特點
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100項是( )
（a） 10 （b） 13 （c） 14 （d） 100
解析由規律可得:數字相同的數依次個數為
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以應選（c）
例2 對於平面幾何中的命題「如果兩個角的兩邊分別對應垂直,那麼這兩個角相等或互補」,在立體幾何中,模擬上述命題,可以得到命題
解析由模擬推理如果兩個二面角的兩個半平面分別對應垂直，則這兩個二面角相等或互補
例3、觀察以下各等式：
，分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，並對等式的正確性作出證明。
解析猜想：。 證明
練習一、選擇題
1、 觀察下列數:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是
(a) 42,41,123; (b) 13,39,123; (c)24,23,123; (d)28,27,123.
2、在平面幾何裡，有勾股定理：「設△abc的兩邊ab，ac互相垂直，則ab2+ac2=bc2」拓展到空間，模擬平面幾何的勾股定理，「設三稜錐a—bcd的三個側面abc、acd、adb 兩兩相互垂直，則可得」 （ ）
(a)ab2+ac2+ ad2=bc2+ cd2 + bd2 (b)
(c) (d)ab2×ac2×ad2=bc2 ×cd2 ×bd2
3、已知 ，猜想的表示式為
a. b. c. d.
二、填空題
4、依次有下列等式：，按此規律下去，第8個等式為
5、在等差數列中，若，則有等式
成立，模擬上述性質，相應地：在等比數列中，若，則有等式成立.
三、解答題
6在def中有餘弦定理：. 拓展到空間，模擬三角形的餘弦定理，寫出斜三稜柱abc-的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關係式，並予以證明.
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7、已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關於的關係式，並求的取值範圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），並進行研究，你能得到什麼樣的結論？
參***
2．1 合情推理與演繹推理
2．1．1 合情推理
一、選擇題
（1）（a） 觀察各項我們可以發現：x為前一項的3倍即14×3，y為前一項減1，z為前一項的3倍，故應選42，41，123，選（a）。
（2）分析關於空間問題與平面問題的模擬，通常可抓住幾何要素的如下對應關係作對比多面體多邊形麵邊
體積面積二面角平面角
面積線段長
由此，可模擬猜測本題的答案：
，故選（c）。
（3）由歸納猜想可得選（b）。
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二、填空題
（4）由歸納猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜測本題的答案為：
事實上，對等差數列，如果，則
. 所以有：
）（）.從而對等比數列，如果，則有等式：成立
三、解答題
6．分析根據模擬猜想得出.
其中為側面為與所成的二面角的平面角.
證明： 作斜三稜柱的直截面def，則為面與面所成角，在中有餘弦定理：
，同乘以，得
即 7．解：（1）
（2），
當時，.
（3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列，當時，數列是公差為的等差數列. …… 12分
研究的問題可以是：試寫出關於的關係式，並求的取值範圍.
研究的結論可以是：由，
依次類推可得
當時，的取值範圍為等.
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