第ⅰ卷(選擇題共30分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.(2014·山東高考)用反證法證明命題「設a,b為實數,則方程x3+ax+b=0至少有乙個實根」時,要做的假設是( )
a.方程x3+ax+b=0沒有實根
b.方程x3+ax+b=0至多有乙個實根
c.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根
d.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根
解析:因為至少有乙個的反面為乙個也沒有,所以要做的假設是方程x3+ax+b=0沒有實根.
答案:a
2.(2014·北京高考)學生的語文、數學成績均被評定為三個等級,依次為「優秀」「合格」「不合格」.若學生甲的語文、數學成績都不低於學生乙,且其中至少有一門成績高於乙,則稱「學生甲比學生乙成績好」.
如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好,並且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生,那麼這組學生最多有( )
a.2人 b.3人 c.4人 d.5人
解析:用a,b,c分別表示優秀、及格和不及格.顯然,語文成績得a的學生最多只有一人,語文成績得b的也最多只有1人,得c的也最多只有1人,所以這組學生的成績為(ac),(bb),(ca)滿足條件,故學生最多為3人.
答案:b
3.(2014·湖北高考)《算數書》竹簡於上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍,其中記載有求「囷蓋」的術:置如其周,令相乘也.
又以高乘之,三十六成一.該術相當於給出了由圓錐的底面周長l與高h,計算其體積v的近似公式v≈l2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.
那麼,近似公式v≈l2h相當於將圓錐體積公式中的π近似取為( )
a. b. c. d.
解析:由題意可知:l=2πr,即r=,圓錐體積v=sh=πr2h=π·h=l2h≈l2h,故,π≈,故選b.
答案:b
4.(2013·廣東高考)設l為直線,α,β是兩個不同的平面.下列命題中正確的是( )
a.若l∥α,l∥β,則α∥β
b.若l⊥α,l⊥β,則α∥β
c.若l⊥α,l∥β,則α∥β
d.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析:如圖,在正方體a1b1c1d1-abcd中,
對於a,設l為aa1,平面b1bcc1,平面dcc1d1為α,β.
a1a∥平面b1bcc1,a1a∥平面dcc1d1,
而平面b1bcc1∩平面dcc1d1=c1c;
對於c,設l為a1a,平面abcd為α,平面dcc1d1為β.a1a⊥平面abcd,a1a∥平面dcc1d1,
而平面abcd∩平面dcc1d1=dc;
對於d,設平面a1abb1為α,平面abcd為β,直線l為d1c1,平面a1abb1⊥平面abcd,d1c1∥平面a1abb1,而d1c1∥平面abcd.
故a,c,d都是錯誤的.
而對於b,根據垂直於同一直線的兩平面平行,知b正確.
答案:b
5.(2013·遼寧高考)已知點o(0,0),a(0,b),b(a,a3).若△oab為直角三角形,則必有( )
c.(b-a3)=0
d.|b-a3|+=0
解析:若∠oba為直角,則=0,
即a2+(a3-b)·a3=0,
又a≠0,故b=a3+;
若∠oab為直角時,則=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;
若∠aob為直角,則不可能.所以b-a3-=0或b-a3=0,故選c.
答案:c
6.(2013·浙江高考)設a,b∈r,定義運算「∧」和「∨」如下:
a∧b=a∨b=
若正數a,b,c,d滿足ab≥4,c+d≤4,則( )
解析:由題意知,運算「∧」為兩數中取小,運算「∨」為兩數中取大,由ab≥4知,正數a,b中至少有乙個大於等於2.由c+d≤4知,c,d中至少有乙個小於等於2,故選c.
答案:c
7.(2013·陝西高考)設[x]表示不大於x的最大整數,則對任意實數x,有( )
a.[-x]=-[x] b.=[x]
c.[2x]=2[x] d.[x]+=[2x]
解析:令x=1.1,[-1.1]=-2,而-[1.1]=-1,
所以a錯;
令x=-=0,=-1,
所以b錯;
令x=0.5,[2x]=1,2[x]=0,
所以c錯;故選d.
答案:d
8.(2013·四川高考)設函式f(x)=(a∈r,e為自然對數的底數),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值範圍是( )
a.[1,e] b.[1,1+e]
c.[e,1+e] d.[0,1]
解析:當a=0時,f(x)=為增函式,∴b∈[0,1]時,f(b)∈[1,].∴f(f(b))≥>1.
∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,故d錯;
當a=e+1時,f(x)=,當b∈[0,1]時,只有b=1時,f(x)才有意義,而f(1)=0,
∴f(f(1))=f(0),顯然無意義,故b,c錯.故選a.
答案:a
9.(2012·浙江高考)設a>0,b>0,e是自然對數的底數,( )
a.若ea+2a=eb+3b,則a>b
b.若ea+2a=eb+3b,則ac.若ea-2a=eb-3b,則a>b
d.若ea-2a=eb-3b,則a解析:考查函式y=ex+2x為單調增函式,若ea+2a=eb+2b,則a=b;
若ea+2a=eb+3b,∴a>b.故選a.
答案:a
10.(2012·江西高考)觀察下列事實:|x|+|y|=1的不同整數解(x,y)的個數為4,|x|+|y|=2的不同整數解(x,y)的個數為8,|x|+|y|=3的不同整數解(x,y)的個數為12,…,則|x|+|y|=20的不同整數解(x,y)的個數為( )
a.76 b.80 c.86 d.92
解析:由已知條件得,|x|+|y|=n(n∈n*)的不同整數解(x,y)的個數為4n,所以|x|+|y|=20的不同整數解(x,y)的個數為80,故選b.
答案:b
第ⅱ卷(非選擇題共70分)
二、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在題中的橫線上)
11.(2014·陝西高考)觀察分析下表中的資料:
猜想一般凸多面體中f,v,e所滿足的等式是 .
解析:因為5+6-9=2,
6+6-10=2,
6+8-12=2,故可猜想f+v-e=2.
答案:f+v-e=2
12.(2014·課標全國ⅰ高考)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過a,b,c三個城市時,
甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過b城市;
乙說:我沒去過c城市;
丙說:我們三人去過同一城市.
由此可判斷乙去過的城市為 .
解析:根據甲、乙、丙說的可列表得
答案:a
13.(2015·山東高考)觀察下列各式:
=40;
=41;
=42;
=43;
……照此規律,當n∈n*時
解析:觀察各式有如下規律:等號左側第n個式子有n項,且上標分別為0,1,2,…,n-1,第n行每項的下標均為2n-1.
等號右側指數規律為0,1,2,…,n-1.所以第n個式子為+…+=4n-1.
答案:4n-1
14.(2014·陝西高考)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈n*,則f2 014(x)的表示式為 .
解析:依題意,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=f,
f3(x)=f(f2(x))=f,…,
由此可猜測fn(x)=,故f2 014(x)=.
答案:15.(2015·福建高考)乙個二元碼是由0和1組成的數字串x1x2…xn(n∈n*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元.
二元碼是通訊中常用的碼,但在通訊過程中有時會發生碼元錯誤(即碼元由0變為1,或者由1變為0).
已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組:其中運算定義為:00=0,01=1,10=1,11=0.
現已知乙個這種二元碼在通訊過程中僅在第k位發生碼元錯誤後變成了1101101,那麼利用上述校驗方程組可判定k等於 .
解析:若1≤k≤3,則x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不滿足x4x5x6x7=0;
若k=4,則二元碼為1100101,不滿足x1x3x5x7=0;
若k=5,則二元碼為1101001,滿足方程組,故k=5.
答案:5
三、解答題(本大題共5小題,共50分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(本小題8分)(2015·安徽高考)設n∈n*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫座標.
(1)求數列的通項公式;
(2)記tn=,證明:tn≥.
(1)解:y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2,
從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切線與x軸交點的橫座標xn=1-.
(2)證明:由題設和(1)中的計算結果知
tn=.
當n=1時,t1=.
當n≥2時,因為,
所以tn>×…×.
綜上可得對任意的n∈n*,均有tn≥.
17.(本小題8分)(2014·山東高考)在等差數列中,已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項.
(1)求數列的通項公式;
(2)設bn=,記tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求tn.
解:(1)由題意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),
解得a1=2,
所以數列的通項公式為an=2n.
(2)由題意知bn==n(n+1),
所以tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).
因為bn+1-bn=2(n+1),
可得當n為偶數時,
tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n=,
當n為奇數時,tn=tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.
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