習題課綜合法和分析法
明目標、知重點
加深對綜合法、分析法的理解，應用兩種方法證明數學問題．
1．綜合法
綜合法是中學數學證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設到結論的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發，經過一系列的中間推理，最後匯出所要求證的命題．綜合法是一種由因導果的證明方法．
綜合法的證明步驟用符號表示是：p0(已知)p1p2…pn(結論)
2．分析法
分析法是指從需證的問題出發，分析出使這個問題成立的充分條件，使問題轉化為判定那些條件是否具備，其特點可以描述為「執果索因」，即從未知看需知，逐步靠攏已知．分析法的書寫形式一般為「因為……，為了證明……，只需證明……，即……，因此，只需證明……，因為……成立，所以……，結論成立」．
分析法的證明步驟用符號表示是：p0(已知)…pn－2pn－1pn(結論)
分析法屬邏輯方法範疇，它的嚴謹體現在分析過程步步可逆．
題型一選擇恰當的方法證明不等式
例1 設a，b，c為任意三角形三邊長，i＝a＋b＋c，s＝ab＋bc＋ca，試證：3s≤i2<4s.
證明 i2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
＝a2＋b2＋c2＋2s.
欲證3s≤i2<4s，
即證ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.
先證明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，
只需證2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，顯然成立；
再證明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，
只需證a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，
即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，
只需證a由於a、b、c為三角形的三邊長，
上述三式顯然成立，故有3s≤i2<4s.
反思與感悟本題要證明的結論要先進行轉化，可以使用分析法．對於連續不等式的證明，可以分段來證，使證明過程層次清晰．證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個：
(1)a2≥0(a∈r)．
(2)(a－b)2≥0(a、b∈r)，其變形有a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥.
(3)若a，b∈(0，＋∞)，則≥，特別地＋≥2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈r)．
跟蹤訓練1 已知a，b是正數，且a＋b＝1，求證：＋≤4.
證明方法一 ∵a，b是正數且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
方法二 ∵a，b是正數，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)(＋)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
方法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.當且僅當a＝b時，取「＝」號．
題型二選擇恰當的方法證明等式
例2 已知△abc的三個內角a，b，c成等差數列，對應的三邊為a，b，c，求證：＋＝.
證明要證原式，只需證＋＝3，
即證＋＝1，即只需證＝1，
而由題意知a＋c＝2b，
∴b＝，∴b2＝a2＋c2－ac，
∴＝＝＝1，
∴原等式成立，即＋＝.
反思與感悟綜合法推理清晰，易於書寫，分析法從結論入手易於尋找解題思路．在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結合起來使用，稱為分析綜合法，其結構特點是：根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論p；若由p可推出q，即可得證．
跟蹤訓練2 設實數a，b，c成等比數列，非零實數x，y分別為a與b，b與c的等差中項，試證：＋＝2.
證明由已知條件得
b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要證＋＝2，
只要證ay＋cx＝2xy，
只要證2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命題得證．
題型三立體幾何中位置關係的證明
例3 如圖，在四稜錐p－abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，ac⊥cd，∠abc＝60°，pa＝ab＝bc，e是pc的中點．
(1)證明：cd⊥ae；
(2)證明：pd⊥平面abe.
證明 (1)在四稜錐p－abcd中，
∵pa⊥底面abcd，cd底面abcd，
∴pa⊥cd.∵ac⊥cd，pa∩ac＝a，
∴cd⊥平面pac，而ae平面pac，
∴cd⊥ae.
(2)由pa＝ab＝bc，∠abc＝60°，
可得ac＝pa，∵e是pc的中點，∴ae⊥pc.
由(1)知，ae⊥cd，且pc∩cd＝c，
所以ae⊥平面pcd.而pd平面pcd，
∴ae⊥pd.∵pa⊥底面abcd，
∴pa⊥ab，又ab⊥ad，∴ab⊥平面pad，
∴ab⊥pd，又ab∩ae＝a，綜上得pd⊥平面abe.
反思與感悟綜合法證明線面之間的垂直關係是高考考查的重點，利用垂直的判定定理和性質定理可以進行線線、線面以及面面之間垂直關係的轉化．另外，利用一些常見的結論還常常可以將線面間的垂直與平行進行轉化．比如：兩條平行線中一條垂直於平面α，則另外一條也垂直於平面α；垂直於同一條直線的兩個平面相互平行等．
跟蹤訓練3 如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，ef∥ac，ab＝，ce＝ef＝1.
(1)求證：af∥平面bde；
(2)求證：cf⊥平面bde.
證明 (1)如圖，設ac與bd交於點g.
因為ef∥ag，且ef＝1，
ag＝ac＝1，
所以四邊形agef為平行四邊形．
所以af∥eg.
因為eg平面bde，
af平面bde，所以af∥平面bde.
(2)連線fg.
因為ef∥cg，ef＝cg＝1，
且ce＝1，所以四邊形cefg為菱形．
所以cf⊥eg.
因為四邊形abcd為正方形，
所以bd⊥ac.又因為平面acef⊥平面abcd，且平面acef∩平面abcd＝ac，
所以bd⊥平面acef.
所以cf⊥bd.又bd∩eg＝g，
所以cf⊥平面bde.
[呈重點、現規律]
1．綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知．
2．分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知．
3．分析法和綜合法各有優缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便於思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然後再用綜合法敘述出來.
一、基礎過關
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則( )
a．a≤b．ab≥
c．a2＋b2≥2 d．a2＋b2≤3
答案 c
解析 ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
2．已知a、b、c、d∈，且<，則( )
a. < < b. < <
c. < < d．以上均可能
答案 a
解析方法一特值檢驗，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
則＝，滿足<<.∴b、c、d不正確．
方法二要證<，∵a、b、c、d∈，
∴只需證a(b＋d)只需證<.而《成立，
∴<.同理可證<.
3．下面四個不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恆成立的有( )
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
答案 c
解析 a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋ac＋bc；a(1－a)≤()2＝；(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；當<0時，＋≥2不成立．
4．若實數a，b滿足0a. b．2ab c．a2＋b2 d．a
答案 c
解析 ∵a＋b＝1，a＋b>2，∴2ab<，
由a2＋b2>＝，
又∵05．設a＝－，b＝－，c＝－，則a、b、c的大小順序是________．
答案 a>b>c
解析 a＝，b＝，c＝.∴a>b>c.
6．如圖所示，sa⊥平面abc，ab⊥bc，過a作sb的垂線，垂足為e，過e作sc的垂線，垂足為f.
求證：af⊥sc.
證明：要證af⊥sc，只需證sc⊥平面aef，只需證ae⊥sc(因為______)，只需證______，只需證ae⊥bc(因為只需證bc⊥平面sab，只需證bc⊥sa(因為______)．由sa⊥平面abc可知，上式成立．
答案 ef⊥scae⊥平面sbcae⊥sbab⊥bc
解析要證線線垂直，可先證線面垂直，要證線面垂直，還需線線垂直，通過證明bc⊥平面sab，可得ae⊥bc，進而ae⊥平面sbc，sc⊥平面aef，問題得證．
7．如果a，b都是正數，且a≠b，求證：＋>＋.
證明方法一用綜合法
＋－－＝
＝＝>0，
∴＋>＋.
方法二用分析法
要證＋>＋，
只要證＋＋2>a＋b＋2，
即要證a3＋b3>a2b＋ab2，
只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需證a2－ab＋b2>ab，
只需證(a－b)2>0，
因為a≠b，所以(a－b)2>0恆成立，
所以＋>＋成立．
二、能力提公升
8．命題甲：()x、2－x、2x－4成等比數列；命題乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差數列，則甲是乙的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 c
解析由()x、2－x、2x－4成等比數列可得：(2－x)2＝()x·2x－4，解得x＝4；由lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差數列得：2lg(x＋2)＝lg x＋lg(2x＋1)，可解得x＝4(x＝－1捨去)，所以甲是乙的充要條件.
9．若a>b>1，p＝，q＝(lg a＋lg b)，r＝lg()，則( )
a．rc．q答案 b
解析 a>b>1lg a>0，lg b>0，q＝(lg a＋lg b)>＝p，
r>lg＝(lg a＋lg b)＝qr>q>p.
10．已知α、β為實數，給出下列三個論斷：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的兩個論斷為條件，另乙個論斷為結論，你認為正確的命題是________．
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