推理與證明
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一、推理
●1. 歸納推理
1）歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。
2）歸納推理的思維過程大致如圖：
3）歸納推理的特點：
①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象。
②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數學證明的工具。
③歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題。
●2. 模擬推理
1）根據兩個（或兩類）物件之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為模擬推理。
2）模擬推理的思維過程是：
●3. 演繹推理
1）演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。
2）主要形式是三段論式推理。
3）三段論式常用的格式為：
m——p （m是p） ①
s——m （s是m） ②
s——p （s是p
其中①是大前提，它提供了乙個一般性的原理；②是小前提，它指出了乙個特殊物件；③是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷。
二、證明
●1. 直接證明：是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。
綜合法就是「由因導果」，從已知條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。
分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為「由果索因」。
要注意敘述的形式：要證a，只要證b，b應是a成立的充分條件. 分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。
●2. 間接證明：即反證法：是指從否定的結論出發，經過邏輯推理，匯出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。
反證法的一般步驟是：反設——推理——矛盾——原命題成立。（所謂矛盾是指：與假設矛盾；與數學公理、定理、公式、定義或已證明了的結論矛盾；與公認的簡單事實矛盾）。
常見的「結論詞」與「反議詞」如下表：
「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般結論；⑵小前提---------所研究的特殊情況；⑶結論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。
1、已知數列的前n項和，且，通過計算猜想（ ）
a、 b、 c、 d、
a1=1
a2=1/3
a3=1/6
a4=1/10
an=1/[1+2+...+(n-1)+n]=1/[(1+n)*n/2]
2、已知a1=1，然後猜想（ ）
a、n b、n2 c、n3 d、
3、設條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈r）是純虛數，則（ ）
a、甲是乙的充分非必要條件 b、甲是乙的必要非充分條件
c、甲是乙的充分必要條件 d、甲是乙的既不充分，又不必要條件
解：根據複數的分類，x+yi為純虛數的充要條件是x=0，y≠0．「若x=0則x+yi為純虛數」是假命題，反之為真．∴x，y∈r，則「x=0」是「x+yi為純虛數」的必要不充分條件
故選b4、已知關於x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實根，則實數m應取的值是（ ）
a、m≥－ b、m≤－ c、m=d、m=－
x^2-(2i-1)x+3m-i=0
(x^2+x+3m)-(2x+1)i=0
x=-1/2
代入得到m=1/12
5、設r+，，m分別表示正實數集，負實數集，純虛數集，則集合加是（ ）
a、r+ b、r－ c、r+∪r－ d、r－∪
6、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的乙個根，則實數m，n的值為（ ）
a、m＝4，n=－3b、m =－4，n＝13
c、m＝4，n=－21 d、m=－4，n＝－5
7、 下列表述正確的是（ ）.
①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④模擬推理是由特殊到一般的推理；⑤模擬推理是由特殊到特殊的推理.
abcd．①③⑤.
8、下面使用模擬推理正確的是
a.「若,則」類推出「若,則」
b.「若」類推出「」
c.「若」 類推出「 （c≠0）」
d.「」 類推出「」
9、 有一段演繹推理是這樣的：「直線平行於平面,則平行於平面內所有直線；已知直線
平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線」的結論顯然是錯誤的，這是因為
a.大前提錯誤 b.小前提錯誤 c.推理形式錯誤 d.非以上錯誤
10、用反證法證明命題：「三角形的內角中至少有乙個不大於60度」時，反設正確的是（ ）。
(a)假設三內角都不大於60度b) 假設三內角都大於60度；
(c) 假設三內角至多有乙個大於60度； (d) 假設三內角至多有兩個大於60度。
11、在十進位制中，那麼在5進製中數碼2004折合成十進位制為
a.29b. 254c. 602d. 2004
12、利用數學歸納法證明「1＋a＋a2＋…＋an＋1 =， (a≠1，n∈n)」時，在驗證n=1成立時，左邊應該是 （ ）
(a)1b)1＋ac)1＋a＋a2d)1＋a＋a2＋a3
13、某個命題與正整數n有關，如果當時命題成立，那麼可推得當時命題也成立. 現已知當時該命題不成立，那麼可推得
a．當n=6時該命題不成立 b．當n=6時該命題成立
c．當n=8時該命題不成立 d．當n=8時該命題成立
14、用數學歸納法證明「」（）時，從 「」時，左邊應增添的式子是
a． b． c． d．
①當n=1時，左邊=2，右邊=2，等式成立。
②設當n=k，時等式成立，即(k+1)(k+2)...(k+k)=2^k.1.3...(2k-1)
當n=k+1時，左邊=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=2^k.1.3.5...(2k-1).(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=2^(k+1).1.3.....(2k-1)(2k+1)
右邊=2^(k+1).1.3....[2(k+1)-1]=2^(k+1).1.3.....(2k+1) 即左邊=右邊，等式成立
綜上：當n屬於n+時，等式成立。
15、已知n為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設為偶數）時命題為真，則還需要用歸納假設再證
a．時等式成立 b．時等式成立
c．時等式成立 d．時等式成立
16、數列中，a1=1，sn表示前n項和，且sn，sn+1，2s1成等差數列，通過計算s1，s2，s3，猜想當n≥1時，sn
a． b． c． d．1－
17、（8分）求證： +>2+。
18、（14分）已知數列滿足sn＋an＝2n＋1, (1) 寫出a1, a2, a3,並推測an的表示式；
(2) 用數學歸納法證明所得的結論。
一、 1、b 2、b 3、b 4、c 5、b 6、b 6-16 dcabb cabbb
17、證明：要證原不等式成立，
只需證（+）>（2+），
即證。∵上式顯然成立,
∴原不等式成立.
18、解： (1) a1＝, a2＝, a3
猜測 an＝2
(2) ①由（1）已得當n＝1時，命題成立
②假設n＝k時,命題成立，即 ak＝2－,
當n＝k＋1時, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2
即當n＝k＋1時,命題成立
根據①②得n∈n+ , an＝2－都成立
推理與證明
【最新考綱透析】
1．合情推理與演繹推理
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用；
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理；
（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異。
高中數學 推理與證明複習總結
推理與證明 1 某個命題與正整數n有關，如果當時命題成立，那麼可推得當時命題也成立.現已知當時該命題不成立，那麼可推得 a 當n 6時該命題不成立 b 當n 6時該命題成立 c 當n 8時該命題不成立 d 當n 8時該命題成立 2 用數學歸納法證明 時，從 時，左邊應增添的式子是 a b c d 3...
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一 選擇題 1 已知數列的前n項和sn n2an n 2 而a1 1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等於 a.b.c.d.答案 b 解析 因為sn n2an，a1 1，所以s2 4a2 a1 a2a2 s3 9a3 a1 a2 a3a3 s4 16a4 a1 a2 a3 a4 a4 所以猜想an...
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