專題十一：不等式的證明選講
一、基礎梳理
不等式的證明方法：
（1）比較法：作差比較：；作商比較：。
作差（商）比較的步驟：
①作差（商）：對要比較大小的兩個數（或式）作差（商）；
②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和（對商式進行因式分解或約分等）；
③判斷差的符號（商與1的大小）：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號（商與1的大小）。
注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。
（2）綜合法：由因導果。
（3）分析法：執果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①「分析法」證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。
②「分析法」證題是乙個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然後用「綜合法」進行表達。
（4）反證法：正難則反。
（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。
放縮法的方法有：
①新增或捨去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮小）；
③利用基本不等式，
如：；；
④利用常用結論：
ⅰ）；ⅱ）；（程度大）
ⅲ）。（程度小）
ⅳ）（程度更小）
ⅴ）真分式放縮：；假分式放縮：
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如：
已知，可設；
已知，可設；
已知，可設；
已知，可設。
（7）構造法：通過建構函式、圖象與圖形、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法、放縮法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。要依據題設、題斷的結構特點、內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟，技巧和語言特點。
二、能力鞏固
1.設, , , 求證：
（1）若，求證：；
（2）在（1）的條件下，證明函式的影象與x軸總有兩個不同的公共點a,b，並求的取值範圍；
（3）若，求證：時，恒有。
2．已知數列中，對一切自然數，都有且。求證：
（1）；
（2）若表示數列的前項之和，則。
3．已知正數列的前n項和為，數列是首項為1，公比為的等比數列。
（1）求數列、的通項公式；
（2）若求：數列的前項和；
（3）求證：。
（3）問的變式：求證：。
4．設各項為正的數列滿足：令
。(ⅰ)求；
(ⅱ)求證：。
5.在數列中，已知，，。
（1）證明數列為等比數列，並求數列的通項公式；
（2）求證：，。
6．在數列。
（ⅰ）設，求證數列是等差數列，並求數列的通項公式；
（ⅱ）設，數列的前ｎ項和為sn，求sn；
(ⅲ)設，求證：。
7．已知數列滿足，，。
（1）求證：數列是等比數列，並求出數列的通項公式；
（2）設，求證：。
練習：1．已知數列的前項和為，已知。
（i）設，求證：數列是等比數列；
（ii）若求數列的前項和；
（iii）若，求實數的取值範圍。
2.設是函式的圖象上的任意兩點，為的中點，的橫座標為。
（1）求的縱座標；
（2）設，其中，求；
（3）對於（2）中的，已知，其中，設為數列的前項的和，求證：。
練習答案：
1．解：（i）依題意，，即
將代入得，，
故數列是首項為、公比為3的等比數列。
（ii）由（i）知數列是等比數列，，當，
。（iii），
①當時， ，
所以所以，當時， 。
②當時，，得。
綜上所述，所求的取值範圍是。
2.解：（1）為的中點，的橫座標為，，
。的縱座標為。
（2）由（1）知，當時，，
……①……②
兩式子相加得
，。（3），，，
。又，，故。
另外的放縮方法：
（從第3項開始放縮）。
不等式證明
第四章微積分中值定理與證明 4.1 微分中值定理與證明 一基本結論 1 零點定理 若在連續，則，使得 2 最值定理 若在連續，則存在使得 其中 分別是在的最小值和最大值 3 介值定理 設在的最小值和最大值分別是，對於，都存在使得 或者 對於，都存在使得 4 費瑪定理 如果是極值點，且在可導，則 5 ...
證明不等式
20.已知函式 i 當時，若函式在其定義域內是增函式，求b的取值範圍 ii 若的圖象與x軸交於兩點，且ab的中點為，求證 20.1 由題意 在上遞增，對恆成立，即對恆成立，只需，當且僅當時取 的取值範圍為 2 由已知得，兩式相減，得 由及，得 令，且，在上為減函式，又，2009 遼寧理21 本小題滿...
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