一、選擇題
1、已知數列的前n項和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等於( )
a.b. c.
d. [答案] b
[解析] 因為sn＝n2an，a1＝1，
所以s2＝4a2＝a1＋a2a2＝＝，
s3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝＝＝，
s4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
a4＝＝＝.
所以猜想an＝，故應選b.
2、n個連續自然數按規律排列下表：
根據規律，從2010到2012箭頭的方向依次為( )
a．↓→
b．→↑
c．↑→
d．→↓
[答案] c
[解析] 觀察特例的規律知：位置相同的數字都是以4為公差的等差數列，由234可知從2010到2012為↑→，故應選c.
3、觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在r上的函式f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函式，則g(－x)＝( )
a．f(x)
b．－f(x)
c．g(x)
d．－g(x)
[答案] d
[解析] 本題考查了推理證明及函式的奇偶性內容，由例子可看出偶函式求導後都變成了奇函式，
∴g(－x)＝－g(x)，選d，體現了對學生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查．
4．根據給出的數塔猜測123456×9＋7等於( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…a．1111110
b．1111111
c．1111112
d．1111113
[答案] b
[解析] 根據規律應為7個1，故應選b.
5、把1、3、6、10、15、21、…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成乙個正三角形(如下圖)，
試求第七個三角形數是( )
a．27
b．28
c．29
d．30
[答案] b
[解析] 觀察歸納可知第n個三角形數共有點數：1＋2＋3＋4＋…＋n＝個，∴第七個三角形數為＝28.
6、下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質模擬出球的有關性質
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°
③教室內有一把椅子壞了，則該教室內的所有椅子都壞了
④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得出凸多邊形的內角和是(n－2)·180°
ab．①③④
c．①②④
d．②④
[答案] c
[解析] ①是模擬推理；②④都是歸納推理，都是合情推理．
7、三角形的面積為s＝(a＋b＋c)·r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用模擬推理，可以得到四面體的體積為( )
a．v＝abc
b．v＝sh
c．v＝(s1＋s2＋s3＋s4)r，(s1、s2、s3、s4分別為四面體四個面的面積，r為四面體內切球的半徑)
d．v＝(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)
[答案] c
[解析] 邊長對應表面積，內切圓半徑應對應內切球半徑．故應選c.
8、模擬平面內正三角形的「三邊相等，三內角相等」的性質，可推知正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當的是( )
①各稜長相等，同一頂點上的任兩條稜的夾角都相等
②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等
③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條稜的夾角都相等
a．①b．①②
c．①②③
d．③[答案] c
[解析] 正四面體的面(或稜)可與正三角形的邊模擬，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點的兩稜的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角模擬，故①②③都對．
9、模擬三角形中的性質：
(1)兩邊之和大於第三邊
(2)中位線長等於底邊的一半
(3)三內角平分線交於一點
可得四面體的對應性質：
(1)任意三個面的面積之和大於第四個面的面積
(2)過四面體的交於同一頂點的三條稜的中點的平面面積等於第四個面面積的
(3)四面體的六個二面角的平分面交於一點
其中模擬推理方法正確的有( )
a．(1)
b．(1)(2)
c．(1)(2)(3)
d．都不對
[答案] c
[解析] 以上模擬推理方法都正確，需注意的是模擬推理得到的結論是否正確與模擬推理方法是否正確並不等價，方法正確結論也不一定正確．
10、六個面都是平行四邊形的四稜柱稱為平行六面體．如圖甲，在平行四邊形abd中，有ac2＋bd2＝2(ab2＋ad2)，那麼在圖乙中所示的平行六面體abcd－a1b1c1d1中，ac＋bd＋ca＋db等於( )
a．2(ab2＋ad2＋aa)
b．3(ab2＋ad2＋aa)
c．4(ab2＋ad2＋aa)
d．4(ab2＋ad2)
[答案] c
[解析] ac＋bd＋ca＋db
＝(ac＋ca)＋(bd＋db)
＝2(aa＋ac2)＋2(bb＋bd2)
＝4aa＋2(ac2＋bd2)
＝4aa＋4ab2＋4ad2，故應選c.
11、下面模擬推理中恰當的是( )
a．若「a·3＝b·3，則a＝b」模擬推出「若a·0＝b·0，則a＝b」
b．「(a＋b)c＝ac＋bc」模擬推出「(a·b)c＝ac·bc」
c．「(a＋b)c＝ac＋bc」模擬推出「＝＋(c≠0)」
d．「(ab)n＝anbn」模擬推出「(a＋b)n＝an＋bn」
[答案] c
[解析] 結合實數的運算知c是正確的．
12、「∵四邊形abcd是矩形，∴四邊形abcd的對角線相等」，補充以上推理的大前提是( )
a．正方形都是對角線相等的四邊形
b．矩形都是對角線相等的四邊形
c．等腰梯形都是對角線相等的四邊形
d．矩形都是對邊平行且相等的四邊形
[答案] b
[解析] 由大前提、小前提、結論三者的關係，知大前提是：矩形是對角線相等的四邊形．故應選b.
13、「因對數函式y＝logax(x>0)是增函式(大前提)，而y＝logx是對數函式(小前提)，所以y＝logx是增函式(結論)」．上面推理的錯誤是( )
a．大前提錯導致結論錯
b．小前提錯導致結論錯
c．推理形式錯導致結論錯
d．大前提和小前提都錯導致結論錯
[答案] a
[解析] 對數函式y＝logax不是增函式，只有當a>1時，才是增函式，所以大前提是錯誤的．
14、「10是5的倍數，15是5的倍數，所以15是10的倍數」上述推理( )
a．大前提錯
b．小前提錯
c．推論過程錯
d．正確
[答案] c
[解析] 大小前提正確，結論錯誤，那麼推論過程錯．故應選c.
15、命題「有些有理數是無限迴圈小數，整數是有理數，所以整數是無限迴圈小數」是假命題，推理錯誤的原因是( )
a．使用了歸納推理
b．使用了模擬推理
c．使用了「三段論」，但大前提使用錯誤
d．使用了「三段論」，但小前提使用錯誤
[答案] d
[解析] 應用了「三段論」推理，小前提與大前提不對應，小前提使用錯誤導致結論錯誤．
16、證明命題「f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函式」，乙個同學給出的證法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.
∵x>0，∴ex>1,0<<1
∴ex－>0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函式，他使用的證明方法是( )
a．綜合法b．分析法
c．反證法d．以上都不是
[答案] a
[解析] 該證明方法符合綜合法的定義，應為綜合法．故應選a.
17、分析法又叫執果索因法，若使用分析法證明：設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證： a．a－b>0b．a－c>0
c．(a－b)(a－c)>0d．(a－b)(a－c)<0
[答案] c
[解析] 要證只需證b2－ac<3a2
只需證b2－a(－b－a)<3a2
只需證2a2－ab－b2>0.
只需證(2a＋b)(a－b)>0，
只需證(a－c)(a－b)>0.
故索的因應為c.
18、用反證法證明命題「三角形的內角中至少有乙個不大於60°」時，反設正確的是( )
a．假設三內角都不大於60°
b．假設三內角都大於60°
c．假設三內角至多有乙個大於60°
d．假設三內角至多有兩個大於60°
[答案] b
[解析] 「至少有乙個不大於」的否定是「都大於60°」．故應選b.
19、設a，b，c∈(－∞，0)，則三數a＋，c＋，b＋中( )
a．都不大於－2
b．都不小於－2
c．至少有乙個不大於－2
d．至少有乙個不小於－2
[答案] c
[解析] ＋＋
＝＋＋∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋＝－≤－2
b＋＝－≤－2
c＋＝－≤－2
∴＋＋≤－6
∴三數a＋、c＋、b＋中至少有乙個不大於－2，故應選c.
20、用數學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步應驗證不等式( )
a．1＋<2
b．1＋＋＜2
c．1＋＋＜3
d．1＋＋＋＜3
[答案] b
[解析] ∵n∈n*，n＞1，∴n取第乙個自然數為2，左端分母最大的項為＝，故選b.
21、設f(n)＝＋＋…＋(n∈n*)，那麼f(n＋1)－f(n)等於( )
a. b.
c.＋ d.－
[答案] d
[解析] f(n＋1)－f(n)
＝－＝＋－
＝－.22、某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈n*)時，該命題成立，那麼可推得n＝k＋1時該命題也成立．現在已知當n＝5時，該命題不成立，那麼可推得( )
a．當n＝6時該命題不成立
b．當n＝6時該命題成立
c．當n＝4時該命題不成立
d．當n＝4時該命題成立
[答案] c
[解析] 原命題正確，則逆否命題正確．故應選c.
23、用數學歸納法證明命題「當n是正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除」，在第二步的證明時，正確的證法是( )
a．假設n＝k(k∈n*)，證明n＝k＋1時命題也成立
b．假設n＝k(k是正奇數)，證明n＝k＋1時命題也成立
c．假設n＝k(k是正奇數)，證明n＝k＋2時命題也成立
d．假設n＝2k＋1(k∈n)，證明n＝k＋1時命題也成立
[答案] c
[解析] ∵n為正奇數，當n＝k時，k下面第乙個正奇數應為k＋2，而非k＋1.故應選c.
高中數學選修2 2推理與證明教案及章節測試
推理與證明 一 合情推理與演繹推理 1 了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用。2 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。3 了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異。二 直接證明與間接證明 1 了解直接證明的兩種基本...
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新版高中數學選修22習題 第二章推理與證明2 2
第2課時分析法 課時過關 能力提公升 基礎鞏固 1分析法是從要證明的結論出發,逐步尋求使結論成立的 a.充分條件 b.必要條件 c.充要條件 d.等價條件 答案a2欲證2 成立,只需證 a.2 2 2 b.2 2 2 c.2 2 2 d.2 2 2 解析由分析法知,欲證2 只需證2 即證 2 2 2...