教案北師大版高中數學選修2-2第一章
《推理與證明》全部教案張云
剛宜君縣高階中學張云剛
第一課時歸納推理
教學目標：
1、通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理這種基本的分析問題法，認識歸納推理的基本方法與步驟，並把它們用於對問題的發現與解決中去。
2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那麼推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。
教學重點：了解合情推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理。
教學難點：用歸納進行推理，做出猜想。
教學過程：
一、課堂引入：
從乙個或幾個已知命題得出另乙個新命題的思維過程稱為推理。見書上的三個推理案例，回答幾個推理各有什麼特點？都是由「前提」和「結論」兩部分組成，但是推理的結構形式上表現出不同的特點，據此可分為合情推理與演繹推理
二、新課講解：
1、蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動物，所有的爬行動物都是用肺呼吸的。
2、三角形的內角和是，凸四邊形的內角和是，凸五邊形的內角和是
由此我們猜想：凸邊形的內角和是
3、，由此我們猜想：（均為正實數）
這種由某類事物的部分物件具有某些特徵,推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理,或者由個別事實概栝出一般結論的推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納)
歸納推理的一般步驟：
⑴ 對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；
⑵ 提出帶有規律性的結論，即猜想；
⑶ 檢驗猜想。
三、例題講解：
例1已知數列的通項公式，，試通過計算的值，推測出的值。
【學生討論：】（學生討論結果**如下）
（1）由此猜想，
學生討論：1）哥德**猜想：任何大於2的偶數可以表示為兩個素數的之和。
2）三根針上有若干個金屬片的問題。
四、鞏固練習：
1、已知，經計算: ，推測當時，有
2、已知：，。
觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題，並證明之。
3、觀察（1）
（2）。
由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論。
注：歸納推理的幾個特點：
1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的範圍.
2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性.
3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足於觀察、經驗和實驗的基礎之上.
歸納是立足於觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上.提出帶有規律性的結論.
五、教學小結：
1.歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那麼推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。
2.歸納推理的一般步驟：1)通過觀察個別情況發現某些相同的性質。
2)從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般命題（猜想）。
第二課時模擬推理
●教學目標：
（一）知識與能力：
通過對已學知識的回顧，認識模擬推理這一種合情推理的基本方法，並把它用於對問
題的發現中去。
（二）過程與方法：
模擬推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質，模擬的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關係就越相關，從而模擬得出的結論就越可靠。
（三）情感態度與價值觀：
1．正確認識合情推理在數學中的重要作用，養成從小開始認真觀察事物、分析問題、發現事物之間的質的聯絡的良好個性品質，善於發現問題，探求新知識。
2．認識數學在日常生產生活中的重要作用，培養學生學數學，用數學，完善數學的正確數學意識。
●教學重點：了解合情推理的含義，能利用模擬進行簡單的推理。
●教學難點：用模擬進行推理，做出猜想。
●教具準備：與教材內容相關的資料。
●教學過程：
一．問題情境
從乙個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（後人稱魯班，被認為是木匠業的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發明了鋸子.
他的思路是這樣的：
茅草是齒形的；茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.
這個推理過程是歸納推理嗎？
二．數學活動
我們再看幾個類似的推理例項。
例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。
等式的性質猜想不等式的性質：
(1) a=ba+c=b+c1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等3) a＞ba2＞b2;等等。
問：這樣猜想出的結論是否一定正確？
例2、試將平面上的圓與空間的球進行模擬.
圓的定義：平面內到乙個定點的距離等於定長的點的集合.
球的定義：到乙個定點的距離等於定長的點的集合.
圓球弦←→截面圓
直徑←→大圓
周長←→表面積
面積←→體積
☆上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）物件之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理稱為模擬推理（簡稱模擬）．
簡言之，模擬推理是由特殊到特殊的推理．
模擬推理的一般步驟：
⑴ 找出兩類物件之間可以確切表述的相似特徵；
⑵ 用一類物件的已知特徵去推測另一類物件的特徵，從而得出乙個猜想；
⑶ 檢驗猜想。即
例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形abc三條邊上的高.p為三角形內任一點,p到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結論:
試通過模擬,寫出在空間中的類似結論.
鞏固提高
1．(2023年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到乙個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的乙個特例,推廣的命題為
2．模擬平面內直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質的猜想．
1．模擬推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。模擬的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關係就越相關，從而模擬得出的結論就越可靠。
2． 模擬推理的一般步驟：
第三課時綜合法
【教學目標】
1．理解綜合法的思維過程及其特點；
2．掌握運用綜合法證明數學問題的一般步驟，能運用綜合法證明簡單的數學問題。
【教學重點難】理解綜合法的思維過程和特點；
運用綜合法證（解）題時，找出有效的推理「路線」；
綜合法：從已知條件出發，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法。（也叫順推證法或由因導果法）
例1、已知a, b, c是不全相等的正數，
求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
分析：不等式左邊含有「a2+b2」的形式，我們可以運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：
不等式左邊出現有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的「和」，右邊有三正數a,b,c的「積」，我們可以運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.
證：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
當且僅當b=c,c=a,a=b時取等號，而a, b, c是不全相等的正數
∴三式不同時取等號，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc本例證法可稱為三合一法，當要證的不等式關於字母具有對稱形式時，我們常可把其看成是由若干個結構相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元的較簡單的不等式證出，即可完成原不等式的證明。
例2、a , b, cr, 求證：123
證：1、法一：, , 兩式相乘即得。
法二：左邊
3 + 2 + 2 + 2 = 9
2、∵ 兩式相乘即得
3、由上題：
∴，即：
例3、已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：
證明：左－右=2（ab+bc－ac），∵a，b，c成等比數列，∴
又∵a，b，c都是正數，所以≤，∴
∴∴說明：此題在證明過程中運用了比較法、基本不等式、等比中項性質，體現了綜合法證明不等式的特點
例4、製造乙個容積為v（定值）的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無蓋兩種情況，求：怎樣選取底半徑與高的比，使用料最省？
北師大版高二數學選修2 2第一章單元試題
高2數學2 2第1單元 命題人 秦天武 試卷滿分 150分，考試時間 90分鐘 一 選擇題 本大題共10小題，每小題5分，共50分。1 下列表述正確的是 歸納推理是由部分到整體的推理 歸納推理是由一般到一般的推理 演繹推理是由一般到特殊的推理 模擬推理是由特殊到一般的推理 模擬推理是由特殊到特殊的推...
高中數學第一章推理與證明全套教案北師大版選修
第一章推理與證明 合情推理 一 歸納推理 課時安排 一課時課型 新授課 教學目標 1 通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理這種基本的分析問題法，認識歸納推理的基本方法與步驟，並把它們用於對問題的發現與解決中去。2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那麼推廣的...
北師大版高中數學必修選修目錄
數學1 必修 第一章集合 1集合的含義與表示 2集合的基本關係 3集合的基本運算 閱讀材料康托與集合論 第二章函式 1生活中的變數關係 2對函式的進一步認識 3函式的單調性 4二次函式性質的再研究 5簡單的冪函式 閱讀材料函式概念的發展 課題學習個人所得稅的計算 第三章指數函式和對數函式 1正整數指...