1.1 等腰三角形
專題一等腰三角形個數的判定
1．(2013龍巖)如圖，在平面直角座標系xoy中，a(0，2)，b(0，6)，動點c在y＝x上．若以a、b、c三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點c的個數是( )
a．2b．3c．4d．5
2． 如圖，在網格中有乙個直角三角形（網格中的毎個小正方形的邊長均為1個單位1長度），若以該三角形一邊為公共邊畫乙個新三角形與原來的直角三角形一起組成乙個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其它的公共點，新三角形的頂點不一定在格點上．那麼符合要求的新三角形有（ ）
a．4個b．6個c．7個d．9個
3．如圖，在△abc中，cf⊥ab於f，be⊥ac於e，m為bc的中點，則圖中等腰三角形有幾個（ ）
a．2個b．3個c．4個d．5個
專題二構造全等三角形
4．已知：如圖，在正方形abcd中，e是bc的中點，點f在cd上，∠fae=∠bae．
求證：af=bc+fc．
5．如圖，△abc中，ab=ac，d是ab上的一點，f是ac延長線上一點，連df交bc於e，若db=cf，求證：de=ef．
6．如圖，已知△abc中，ab＝ac＝10厘公尺，bc＝8厘公尺，點d為ab的中點．
（1）如果點p**段bc上以3厘公尺/秒的速度由b點向c點運動，同時，點q**段ca上由c點向a點運動．
①若點q的運動速度與點p的運動速度相等，經過1秒後，△bpd與△cqp是否全等，請說明理由；
②若點q的運動速度與點p的運動速度不相等，當點q的運動速度為多少時，能夠使△bpd與△cqp全等？
（2）若點q以②中的運動速度從點c出發，點p以原來的運動速度從點b同時出發，都逆時針沿△abc三邊運動，求經過多長時間點p與點q第一次在△abc的哪條邊上相遇？
參***
1．d 【解析】（1）若等腰三角形以線段ab為底，即當ca=cb時，作線段ab的垂直平分線與直線y＝x有乙個交點；（2）以線段ab為腰時，又分兩種情況：當ab=ac時，以點a為圓心，ab為半徑的圓與與直線y＝x有兩個交點；當ba=bc時，以點b為圓心，ab為半徑的圓與與直線y＝x有兩個交點；故滿足條件的c點有5個，故選d．
2．c 【解析】根據題意可知：以原三角形每條邊為底邊分別可以畫出兩個新三角形與原來的直角三角形一起組成乙個等腰三角形，故3×2=6；同時，還可以以原直角三角形斜邊為腰畫出乙個新三角形與原來的直角三角形一起組成乙個等腰三角形，∴符合要求的新三角形有7個，故選c．
3．d 【解析】∵cf⊥ab，be⊥ac，m為bc的中點，∴em=fm=bm=cm，則等腰三角形有△efm、△bmf、△cmf、△bme、△cme共5個．故選d．
4．證明：過e點作eg⊥af，垂足為g，
∵∠bae=∠eaf，∠b=∠age=90°，
又∠bae=∠eaf，即ae為∠baf的平分線，eb⊥ab，eg⊥ag，
∴be=eg，
在rt△abe和rt△age中，
∵∴rt△abe≌rt△age（hl），
∴ag=ab=bc，
同理可知cf=gf，
∴af=bc+fc．
5．證明：作fh∥ab交bc延長線於h，
∵fh∥ab，
∴∠fhc=∠b.
又∵ab=ac，
∴∠b=∠acb．
又∠acb=∠fch，
∴∠fhe=∠fch．
∴cf=hf．
又∵bd=cf，
∴hf=bd．
又∵fh∥ab，
∴∠bde=∠hfe，∠dbe=∠fhe．
∴△dbe≌△fhe（asa）．
∴de=ef．
6．解：（1）①全等. ∵t＝1秒，
∴bp＝cq＝3×1＝3(厘公尺).
∵ab＝10厘公尺，點d為ab的中點，
∴bd＝5厘公尺．
又∵pc＝bc－bp，bc＝8厘公尺，
∴pc＝8－3＝5(厘公尺)，
∴pc＝bd．
又∵ab＝ac，
∴∠b＝∠c，
∴△bpd≌△cpq．
②∵vp≠vq，∴bp≠cq，
又∵△bpd與△cpq全等，∠b＝∠c，則bp＝pc＝4厘公尺，cq＝bd＝5厘公尺，
∴點p，點q運動的時間（秒），
∴（厘公尺/秒）.
（2）設經過x秒後點p與點q第一次相遇，
由題意，得 x＝3x＋2×10，
解得．∴點p共運動了×3＝80（厘公尺）．
∵80═56＋24＝2×28＋24，
∴點p與點q在ab邊上相遇，
∴經過秒點p與點q第一次在邊ab上相遇．
1.2直角三角形
專題摺疊問題
1．已知rt△abc中，∠acb=90°，ca=cb，有乙個圓心角為45°，半徑長等於ca的扇形cef繞點c旋轉，直線ce、cf分別與直線ab交於點m、n．
（1）如圖①，當am=bn時，將△acm沿cm摺疊，點a落在弧ef的中點p處，再將△bcn沿cn摺疊，點b也恰好落在點p處，此時，pm=am，pn=bn，△pmn的形狀是線段am、bn、mn之間的數量關係是
（2）如圖②，當扇形cef繞點c在∠acb內部旋轉時，線段mn、am、bn之間的數量關係是試證明你的猜想；
（3）當扇形cef繞點c旋轉至圖③的位置時，線段mn、am、bn之間的數量關係是不要求證明）
2．小明剪了一些直角三角形紙片，他取出其中的幾張進行了如下的操作：
操作一：如圖1，將rt△abc沿某條直線摺疊，使斜邊的兩個端點a與b重合，摺痕為de．如果∠cad∶∠cda=1∶2，cd=1 cm，試求ab的長．
操作二：如圖2，小明拿出另一張rt△abc紙片，將其摺疊，使直角邊ac落在斜邊ab上，且與ae重合，摺痕為ad．已知兩直角邊ac=6 cm，bc=8 cm，請你求出cd的長．
操作三：如圖3，小明又拿出另一張rt△abc紙片，將紙片摺疊，摺痕cd⊥ab於d．請你說明：bc2+ad2=ac2+bd2．
參***
1．解：（1）根據摺疊的性質知：
△cam≌△cpm，△cnb≌△cnp；
∴am=pm，∠a=∠cpm，pn=nb，∠b=∠cpn，
∴∠mpn=∠a+∠b=90°，pm=pn=am=bn，
故△pmn是等腰直角三角形，am2+bn2=mn2（或am=bn=mn）．
（2）am2+bn2=mn2. 如圖，
將△acm沿cm摺疊，得△dcm，連dn，則△acm≌△dcm，
∴cd=ca，dm=am，∠dcm=∠acm，同理可知∠dcn=∠bcn，
△dcn≌△bcn，dn=bn，而∠mdc=∠a=45°，∠cdn=∠b=45°
∴∠mdn=90°，
∴dm2+dn2=mn2，
故am2+bn2=mn2．
（3）am2+bn2=mn2．
2．解：操作一：∵∠cad∶∠cda=1∶2，∠c=90°，
∴設∠cad=x，∠cda=2x，
∴x+2x=90°，
解得x=30°，
故∠cad=30°.
∵cd=1 cm，
∴ad=2 cm，
故ac==cm.
∵將rt△abc沿某條直線摺疊，使斜邊的兩個端點a與b重合，摺痕為 de，
∴bd=ad，
∴∠dba=∠dab.
∵∠cda=2x=60°，
∴∠b=30°，
∴ab=2ac=2 cm.
操作二：∵ac=6 cm，bc=8 cm，
∴ab==10 cm.
根據摺疊性質可得ac=ae=6 cm，
∴be=ab-ae=10-6=4.
設cd=x，則bd=8-x，de=x，
在rt△bde中，由題意可得方程x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
故cd=3 cm.
操作三：
在rt△bcd中，由勾股定理可得bc2=bd2+cd2，
在rt△acd中，由勾股定理可得ad2 =ac2-cd2，
故bc2+ad2=bd2+cd2+ac2-cd2=ac2+bd2．
1.3 線段的垂直平分線
專題利用線段的垂直平分線證明線段的和、差、倍問題
1．如圖，在△abc中，∠acb=90゜，be平分∠abc，交ac於e，de垂直平分ab於d，求證：be+de=ac．
2．已知：如圖，在△abc中，ab=ac，∠a=120°，ab的垂直平分線mn分別交bc，ab於點m，n，求證：cm=2bm．
3．如圖，在△abc中，∠b=2∠c，且ad⊥bc於d．求證：cd=ab+bd．
參***
1．證明：∵∠acb=90°，
∴ac⊥bc.
∵ed⊥ab，be平分∠abc，
∴ce=de.
∵de垂直平分ab，
∴ae=be.
∵ae+ce = ac，
∴be+de=ac．
2．證明：如圖所示，連線am，
∵∠bac=120°，ab=ac，
∴∠b=∠c=30°.
∵mn是ab的垂直平分線，
∴bm=am，∴∠bam=∠b=30°，
∴∠mac=90°，
∴cm=2am，
∴cm=2bm．
3．證明：如圖，在dc上取de=bd，
∵ad⊥bc，
∴ab=ae，bd=ae,
∴∠b=∠aeb.
在△ace中，∠aeb=∠c+∠cae，
又∵∠b=2∠c，
∴2∠c=∠c+∠cae，
∴∠c=∠cae，
∴ae=ce，∴ab=ce，
∴cd=ce+de=ab+bd．
1.4角平分線
專題有關角平分線的**性問題
1.（1）已知：如圖1，rt△abc中，∠acb=90°，∠bac=60°，cd平分∠acb，點e為ab中點，pe⊥ab交cd的延長線於p，猜想：
∠pac+∠pbc直接寫出結論，不需證明）．
（2）已知：如圖2，rt△abc中，∠acb=90°，∠bac≠45°，cd平分∠acb，點e為ab中點，pe⊥ab交cd的延長線於p，（1）中結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
2．觀察、猜想、**：
在△abc中，∠acb=2∠b．
（1）如圖①，當∠c=90°，ad為∠bac的角平分線時，求證：ab= cd + ac；
（2）如圖②，當∠c≠90°，ad為∠bac的角平分線時，線段ab、ac、cd又有怎樣的數量關係？不需要證明，請直接寫出你的猜想；
（3）如圖③，當ad為△abc的外角平分線時，線段ab、ac、cd又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，並對你的猜想給予證明．
參***
1．解：（1）猜想：∠pac+∠pbc=180°.
（2）結論：依然成立．
證明：如圖，連線ce．
∵e為ab中點，
∴ae=eb=ec，
∴∠eac=∠eca，
∴∠dce=∠eca-∠dca=∠eac-45°.
又∵∠dac=180°-∠adc-45°=135°-∠pde，
∴∠dce=135°-∠pde-45°=90°-∠pde=∠dpe，
∴pe=ec=ae，
∴△pae與△pbe為等腰直角三角形，∠apb=90°，
∴∠pac+∠pbc=360°-∠apb-∠acb=360°-90°-90°=180°．
第一章三角形的證明
54份 姓名評分 一 選擇題 1 已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm 2cm，則該等腰三角形的周長是 a 7cm b 9cm c 12cm或者9cmd 12cm 2 abc中，ab ac，bd平分 abc交ac邊於點d，bdc 75 則 a的度數為 a 35 b 40 c 70 d 110 3.如圖...
第一章三角形的證明
1.1等腰三角形 一 一 問題引入 1.請你用自己的語言說一說證明的基本步驟 2.列舉我們已知道的公理 1 公理 同位角兩直線平行.2 公理 兩直線同位角 3 公理的兩個三角形全等.4 公理的兩個三角形全等.5 公理的兩個三角形全等.6 公理 全等三角形的對應邊對應角 注 等式的有關性質和不等式的有...
第一章三角形的證明複習學案
第一章 三角形的證明 複習學案 學習準備 1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，腰長為4cm，則其腰上的高為 cm 2.如果等腰三角形有兩邊長為2和5，那麼周長為 3.在 abc中，a b c，則 abc是三角形.4.等邊三角形的三個角都並且每個角都等於 5.等腰三角形的腰長為10,底長為1...