第一章常用邏輯用語
1．1命題及其關係
練習（p4）
1、略. 2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.
3、（1）若乙個三角形是等腰三角形，則這個三角形兩邊上的中線相等. 這是真命題.
（2）若乙個函式是偶函式，則這個函式的圖象關於軸對稱. 這是真命題.
（3）若兩個平面垂直於同乙個平面，則這兩個平面平行. 這是假命題.
練習（p6）
1、逆命題：若乙個整數能被5整除，則這個整數的末位數字是0. 這是假命題.
否命題：若乙個整數的末位數字不是0，則這個整數不能被5整除. 這是假命題.
逆否命題：若乙個整數不能被5整除，則這個整數的末位數字不是0. 這是真命題.
2、逆命題：若乙個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等. 這是真命題.
否命題：若乙個三角形有兩條邊不相等，這個三角形有兩個角也不相等. 這是真命題.
逆否命題：若乙個三角形有兩個角不相等，則這個三角形有兩條邊也不相等.這是真命題.
3、逆命題：圖象關於原點對稱的函式是奇函式. 這是真命題.
否命題：不是奇函式的函式的圖象不關於原點對稱. 這是真命題.
逆否命題：圖象不關於原點對稱的函式不是奇函式. 這是真命題.
練習（p8）
證明：若，則
所以，原命題的逆否命題是真命題，從而原命題也是真命題.
習題1.1 a組（p8）
1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.
2、（1）逆命題：若兩個整數與的和是偶數，則都是偶數. 這是假命題.
否命題：若兩個整數不都是偶數，則不是偶數. 這是假命題.
逆否命題：若兩個整數與的和不是偶數，則不都是偶數. 這是真命題.
（2）逆命題：若方程有實數根，則. 這是假命題.
否命題：若，則方程沒有實數根. 這是假命題.
逆否命題：若方程沒有實數根，則. 這是真命題.
3、（1）命題可以改寫成：若乙個點**段的垂直平分線上，則這個點到線段的兩個端點的距離相等.
逆命題：若乙個點到線段的兩個端點的距離相等，則這個點**段的垂直平分線上.
這是真命題.
否命題：若乙個點到不**段的垂直平分線上，則這個點到線段的兩個端點的距離不相等這是真命題.
逆否命題：若乙個點到線段的兩個端點的距離不相等，則這個點不**段的垂直平分線上這是真命題.
（2）命題可以改寫成：若乙個四邊形是矩形，則四邊形的對角線相等.
逆命題：若四邊形的對角線相等，則這個四邊形是矩形. 這是假命題.
否命題：若乙個四邊形不是矩形，則四邊形的對角線不相等. 這是假命題.
逆否命題：若四邊形的對角線不相等，則這個四邊形不是矩形. 這是真命題.
4、證明：如果乙個三角形的兩邊所對的角相等，根據等腰三角形的判定定理，這個三角形是等腰三角形，且這兩條邊是等腰三角形，也就是說這兩條邊相等. 這就證明了原命題的逆否命題，表明原命題的逆否命題為真命題.
所以，原命題也是真命題.
習題1.1 b組（p8）
證明：要證的命題可以改寫成「若，則」的形式：若圓的兩條弦不是直徑，則它們不能互相平分.
此命題的逆否命題是：若圓的兩條相交弦互相平分，則這兩條相交弦是圓的兩條直徑.
可以先證明此逆否命題：設是的兩條互相平分的相交弦，交點是，若和圓心重合，則是經過圓心的弦，是兩條直徑. 若和圓心不重合，鏈結和，則是等腰，的底邊上中線，所以，，.
和都經過點，且與垂直，這是不可能的. 所以，和必然重合. 即和是圓的兩條直徑.
原命題的逆否命題得證，由互為逆否命題的相同真假性，知原命題是真命題.
1．2充分條件與必要條件
練習（p10）
1、（1）； （2）； （3）； （42、（1）. 3（1）.
4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.
練習（p12）
1、（1）原命題和它的逆命題都是真命題，是的充要條件；
（2）原命題和它的逆命題都是真命題，是的充要條件；
（3）原命題是假命題，逆命題是真命題，是的必要條件.
2、（1）是的必要條件； （2）是的充分條件；
（3）是的充要條件； （4）是的充要條件.
習題1.2 a組（p12）
1、略2、（1）假； （2）真； （3）真.
3、（1）充分條件，或充分不必要條件； （2）充要條件；
（3）既不是充分條件，也不是必要條件； （4）充分條件，或充分不必要條件.
4、充要條件是.
習題1.2 b組（p13）
1、（1）充分條件； （2）必要條件； （3）充要條件.
2、證明：（1）充分性：如果，那麼.
所以所以，，，.
即，所以，是等邊三角形.
（2）必要性：如果是等邊三角形，那麼
所以所以
所以1．3簡單的邏輯聯結詞
練習（p18）
1、（1）真； （2）假2、（1）真； （2）假.
3、（1），真命題； （2）3不是方程的根，假命題；
（3），真命題.
習題1.3 a組（p18）
1、（1）或，真命題； （2）且，假命題；
（3）2是偶數或3不是素數，真命題； （4）2是偶數且3不是素數，假命題.
2、（1）真命題； （2）真命題； （3）假命題.
3、（1）不是有理數，真命題； （2）5是15的約數，真命題；
（3），假命題4），真命題；
（5）空集不是任何集合的真子集，真命題.
習題1.3 b組（p18）
（1）真命題. 因為為真命題，為真命題，所以為真命題；
（2）真命題. 因為為真命題，為真命題，所以為真命題；
（3）假命題. 因為為假命題，為假命題，所以為假命題；
（4）假命題. 因為為假命題，為假命題，所以為假命題.
1．4全稱量詞與存在量詞
練習（p23）
1、（1）真命題； （2）假命題； （3）假命題.
2、（1）真命題； （2）真命題； （3）真命題.
練習（p26）
1、（1）； （2）存在乙個素數，它不是奇數；
（3）存在乙個指數函式，它不是單調函式.
2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每個梯形都不是等腰梯形；
（3）所有實數的絕對值都是正數.
習題1.4 a組（p26）
1、（1）真命題； （2）真命題； （3）真命題； （4）假命題.
2、（1）真命題； （2）真命題； （3）真命題.
3、（1）； （2）存在乙個可以被5整除的整數，末位數字不是0；
（3）； （4）所有四邊形的對角線不互相垂直.
習題1.4 b組（p27）
（1）假命題. 存在一條直線，它在軸上沒有截距；
（2）假命題. 存在乙個二次函式，它的圖象與軸不相交；
（3）假命題. 每個三角形的內角和不小於；
（4）真命題. 每個四邊形都有外接圓.
第一章複習參考題a組（p30）
1、原命題可以寫為：若乙個三角形是等邊三角形，則此三角形的三個內角相等.
逆命題：若乙個三角形的三個內角相等，則此三角形是等邊三角形. 是真命題；
否命題：若乙個三角形不是等邊三角形，則此三角形的三個內角不全相等. 是真命題；
逆否命題：若乙個三角形的三個內角不全相等，則此三角形不是等邊三角形. 是真命題.
2、略3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.
4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.
5、（12）在圓上，為圓心；
（3）是整數，；
（4）是無理數，是有理數.
6、（1），真命題； （2），假命題； （3），真命題；
（4）存在乙個正方形，它不是平行四邊形，假命題.
第一章複習參考題b組（p31）
1、（1）； （2），或.
2、（1），，的對邊分別是，則；
（2），的對邊分別是，則.
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