第一章集合與函式概念
課時二、集合間的基本關係
1.「包含」關係—子集
(1)定義:如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素,我們說這兩個集合有包含關係,稱集合a是集合b的子集。記作:(或ba)
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;
(2)a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含於集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.「相等」關係:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)
例項:設 a= b= 「元素相同則兩集合相等」
即:① 任何乙個集合是它本身的子集。aa
②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
或若集合ab,存在xb且x a,則稱集合a是集合b的真子集。
③如果 ab, bc ,那麼 ac
④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
◆ 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
課時三、集合的運算
課時四:函式的有關概念
1. 函式的概念:設a、b是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合a中的任意乙個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式.記作:
y=f(x),x∈a.(1)其中,x叫做自變數,x的取值範圍a叫做函式的定義域;
(2)與x的值相對應的y值叫做函式值,函式值的集合叫做函式的值域.
函式的三要素:定義域、值域、對應法則
3、區間的概念:
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示
4函式的表示方法:(1)解析法:明確函式的定義域
(2)圖想像:確定函式影象是否連線,函式的影象可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。
(3)列表法:選取的自變數要有代表性,可以反應定義域的特徵。
5、函式圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角座標系中,以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標,函式值y為縱座標的點p(x,y)的集合c,叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象.c上每一點的座標(x,y)均滿足函式關係y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x,y),均在c上 .
(2) 畫法
a、描點法: b、圖象變換法:平移變換;伸縮變換;對稱變換。
(3)函式影象變換的特點:
1)函式y=f(x) 關於x軸對稱y=-f(x)
2)函式y=f(x) 關於y軸對稱y=f(-x)
3)函式y=f(x) 關於原點對稱y=-f(-x)
2.對映
一般地,設a、b是兩個非空的集合,如果按某乙個確定的對應法則f,使對於集合a中的任意乙個元素x,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f(對應關係):
a(原象)b(象)」
對於對映f:a→b來說,則應滿足:
(1)集合a中的每乙個元素,在集合b中都有象,並且象是唯一的;
(2)集合a中不同的元素,在集合b中對應的象可以是同乙個;
(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
課時五:函式的解析表示式,及函式定義域的求法
1、函式解析式子的求法
(1)、函式的解析式是函式的一種表示方法,要求兩個變數之間的函式關係時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函式的定義域.
(2)、求函式的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定係數法:
3)換元法:
4)拼湊法:
2.定義域:能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是:
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零,
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
3、相同函式的判斷方法:①表示式相同(與表示自變數和函式值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)
課時六:
1.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法:直接觀察函式的影象或函式的解析式來求函式的值域;
(2)配方法:針對二次函式的型別,根據二次函式影象的性質來確定函式的值域,注意定義域的範圍。
(3)代換法(換元法):作變數代換,針對根式的題型,轉化成二次函式的型別。
(4)分離常數法
課時七1.分段函式
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
(2)各部分的自變數的取值情況.
(3)分段函式的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的並集.
補充:復合函式
如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 稱為f、g的復合函式。
(4)常用的分段函式
1)取整函式:
2)符號函式:
3)含絕對值的函式:
注意:對映是針對自然界中的所有事物而言的,而函式僅僅是針對數字來說的。所以函式是對映,而對映不一定的函式
課時八函式的單調性(區域性性質)及最值
1、增減函式
(1)設函式y=f(x)的定義域為i,如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1,x2,當x1(2)如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1注意:函式的單調性是函式的區域性性質;函式的單調性還有單調不增,和單調不減兩種
2、 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式,那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的,減函式的圖象從左到右是下降的.
3、函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法:
任取x1,x2∈d,且x1作差f(x1)-f(x2);
變形(通常是因式分解和配方);
定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
下結論(指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性).
(b)圖象法(從圖象上看公升降)
(c)復合函式的單調性
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:「同增異減」
注意:函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
課時九:函式的奇偶性(整體性質)
(1)偶函式:一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函式.
(2)奇函式:一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函式.
(3)、具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.
利用定義判斷函式奇偶性的步驟:
首先確定函式的定義域,並判斷其是否關於原點對稱;若是不對稱,則是非奇非偶的函式;若對稱,則進行下面判斷;
確定f(-x)與f(x)的關係;
作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函式;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函式.
(4)利用奇偶函式的四則運算以及復合函式的奇偶性
1)在公共定義域內,偶函式的加減乘除仍為偶函式;
奇函式的加減仍為奇函式;
奇數個奇函式的乘除認為奇函式;
偶數個奇函式的乘除為偶函式;
一奇一偶的乘積是奇函式;
2)復合函式的奇偶性:乙個為偶就為偶,兩個為奇才為奇
注意:函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件.首先看函式的定義域是否關於原點對稱,若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱,
(1)再根據定義判定;
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理,或借助函式的圖象判定 .
課時十、函式最值及性質的應用
1、函式的最值
利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值
利用圖象求函式的最大(小)值
利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值:
如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
2、函式的奇偶性與單調性
奇函式在關於原點對稱的區間上有相同的單調性;
偶函式在關於原點對稱的區間上有相反的單調性。
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